Đề: Cho đường tròn $(C):$$(x-2)^2+(y-3)^2=5$a. Xác định phương trình tham số của $(C)$b. Tìm trên $(C)$ điểm $M$ sao cho $MA$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biết rằng $A(4;-1)$

Đề bài: Cho đường tròn $(C):$$(x-2)^2+(y-3)^2=5$a. Xác định phương trình tham số của $(C)$b. Tìm trên $(C)$ điểm $M$ sao cho $MA$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất biết rằng $A(4;-1)$

Lời giải

a. Đường tròn $(C)$ tâm $I(2;3)$, bán kính $R=\sqrt{5} $ có phương trình tham số là:
$(C):\left\{ \begin{array}{l} x=2+\sqrt{5}\sin t \\ y=3+\sqrt{5}\cos t  \end{array} \right.        (t\in [0;2\pi])$

b. Điểm $A(0;1)\Rightarrow  P_{A/(C)}>0\Leftrightarrow  A \notin  (C)$
– Phương trình đường thẳng $(AI)$ cho bởi: $(AI):\left\{ \begin{array}{l} qua  I(2;3)\\ vtcp  \overrightarrow{AI}(-2;4)  \end{array} \right. \Leftrightarrow  (AI):\left\{ \begin{array}{l} x=2-t\\ y=3+2t \end{array} \right.        (t\in R)$
– Giả sử $(AI)\in (C)=M_1, M_2$.
Thay phương trình của $AI$ vào phương trình của $(C)$ ta được:
$t^2+t^2=2\Leftrightarrow  t= \pm 1 \Rightarrow  $$\left[ \begin{array}{l}
{M_1}(1;5)\,\,,\,\,{M_1}A = (3\sqrt 5 )\\
{M_2}(3;1)\,\,,\,\,{M_2}A = \sqrt 5
\end{array} \right.$

Khi đó, với điểm $M\in (S)$ ta có:
– $MA_{min}=\min\left\{ {M_1A, M_2A} \right\}=\sqrt{5} $ đạt được khi $M\equiv M_2$
– $MA_{max}=\max\left\{ {M_1A, M_2A} \right\}=3\sqrt{5} $ đạt được khi $M\equiv M_1$