• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Quốc gia Môn Toán
  • Trắc nghiệm toán 12
  • Máy tính

Đề:  Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thuộc $[1;2]$Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất  của biểu thức $Q=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$  

Đăng ngày: 03/03/2020 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

ham so
Đề bài:  Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thuộc $[1;2]$Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất  của biểu thức $Q=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$  

Lời giải

* Giá trị nhỏ nhất
Theo Cô-si $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3\sqrt[3]{abc}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9$ hay $Q \geq 9$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=b=c>0$.
Suy ra $\min Q=9$

* Giá trị lớn nhất
Từ $a,b,c \in [1;2]$. Suy ra
+$ \frac{1}{2} \leq \frac{a}{c}\leq 2 \Leftrightarrow  (\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(\frac{a}{c}-2) \leq 0 \Leftrightarrow  (\frac{a}{c})^2-\frac{5}{2}.\frac{a}{c}+1 \leq 0 \\\Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^2+1}{}\leq \frac{5}{2}.\frac{a}{c} \Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \leq \frac{5}{2}     (1)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq a \leq b \leq c \leq 2$ suy ra
$ (1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b}) \geq 0 \Leftrightarrow  \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}      (2)$
Ta có: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+( \frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
                                                   $\leq 3+(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})           (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $Q\leq 3+2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=10$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a=1,b=c=2)$

Do vai trò bình đẳng của $a,b,c$ nên suy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi trong ba có hai số bằng $2$, còn số kia bằng $1$

Vậy $\max Q=10$

Thuộc chủ đề:Bài tập Hàm số Tag với:Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

Bài liên quan:

  1. Đề:   Cho 3 số dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:        $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$
  2. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:        $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$
  3. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của tổng $S=3x+4y$, trong đó $(x, y)$ là nghiệm của bất phương trình $\log_{x^2+y^2}x 1$, trong hai trường hợp:a) $0
  4. Đề: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1+\sin x}-3$
  5. Đề: Tìm GTLN của:a)$y=x(a-2x)^{2}, 0 \leq  x \leq  \frac{a}{2} $                              b) $y=\ sin^{2}x\cos x $
  6. Đề: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:   $f(x)=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ trên đoạn $[0;1]$.
  7. Đề: Cho hàm số : $y = \frac{{x^2\cos \alpha  – 2x + \cos\alpha }}{{x^2 – 2x\cos\alpha  + 1}},\alpha  \in (0,\pi )$Tìm miền giá trị của hàm số $y$
  8. Đề: Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$, và $(D)$ là đường thẳng có phương trình $y = ax + b$.1) $a, b$ phải thỏa mãn điều kiện gì để đường thẳng $(D)$ tiếp xúc với $(C)$?2) Giả sử điều kiện trên được nghiệm đúng. Khi đó $(D)$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $M$ và $N$.a) Chứng tỏ rằng tam giác $OMN$ có diện tích không đổi.b) Chứng tỏ rằng điểm giữa của đoạn $MN$ là tiếp điểm của $(D)$ với $(C)$.c) Khi nào thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $(D)$ là lớn nhất
  9. Đề: Trên parabol $y = {x^2}$, lấy hai điểm $A( – 1, 1), B(3 , 9)$ và  một điểm $M$ thuộc cung  . Xác định vị trí của $M$ sao cho tam giác $ABM$ có diện tích lớn nhất.
  10. Đề:  Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^2+y^2+z^2 \leq 1$Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=xy+yz+2zx$
  11. Đề: Cho hàm số :  $y=\sqrt{\sin x } + \sqrt{\cos x }$.  Tìm $max  y ,  min  y.$
  12. Đề: Cho các số thực không âm $a,b$ thỏa mãn $a+b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :       $A=16ab(a-b)^2$
  13. Đề:   Cho $x>0$, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:         $y=4x+\frac{9\pi^2}{x}+\sin x$
  14. Đề: Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng $(P)$ đi qua một đường chéo của hình lập phương. Phải chọn mặt phẳng $(P)$ thế nào để thiết diện thu được có diện tích nhỏ nhất?
  15. Đề: Cho hàm số :  $y= \frac{ \sin x + 2 \cos x +3}{ 2 \sin x+\cos x +3}.$  Tìm  $max  y  , min  y.$

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Bài tập tự luận về hàm số




Booktoan.com (2015 - 2022) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.