Đề:  Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thuộc $[1;2]$Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất  của biểu thức $Q=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$  

Đề bài:  Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thuộc $[1;2]$Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất  của biểu thức $Q=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$  

Lời giải

* Giá trị nhỏ nhất
Theo Cô-si $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 3\sqrt[3]{abc}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=9$ hay $Q \geq 9$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=b=c>0$.
Suy ra $\min Q=9$

* Giá trị lớn nhất
Từ $a,b,c \in [1;2]$. Suy ra
+$ \frac{1}{2} \leq \frac{a}{c}\leq 2 \Leftrightarrow  (\frac{a}{c}-\frac{1}{2})(\frac{a}{c}-2) \leq 0 \Leftrightarrow  (\frac{a}{c})^2-\frac{5}{2}.\frac{a}{c}+1 \leq 0 \\\Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^2+1}{}\leq \frac{5}{2}.\frac{a}{c} \Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \leq \frac{5}{2}     (1)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $1 \leq a \leq b \leq c \leq 2$ suy ra
$ (1-\frac{a}{b})(1-\frac{b}{c})+(1-\frac{b}{a})(1-\frac{c}{b}) \geq 0 \Leftrightarrow  \frac{a}{b} +\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \leq 2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}      (2)$
Ta có: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+( \frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
                                                   $\leq 3+(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})           (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $Q\leq 3+2+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=10$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a=1,b=c=2)$

Do vai trò bình đẳng của $a,b,c$ nên suy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi trong ba có hai số bằng $2$, còn số kia bằng $1$

Vậy $\max Q=10$