Đề: Cho $A = R/\left\{ 1 \right\}$ và ánh xạ \(f:A \to A\) xác định như sau:$f:x \to \frac{x + 1}{x – 1}$ a.    Chứng minh rằng $f$ là một song ánh. b.    Xác định ánh xại ngược $f^{ – 1}$. Có nhận xét gì  ?

Đề bài: Cho $A = R/\left\{ 1 \right\}$ và ánh xạ \(f:A \to A\) xác định như sau:$f:x \to \frac{x + 1}{x – 1}$
a.    Chứng minh rằng $f$ là một song ánh.
b.    Xác định ánh xại ngược $f^{ – 1}$. Có nhận xét gì  ?

Lời giải

a.    Ta có :
$\begin{array}{l}
\left( {\forall {y_0} \in A,f\left( x \right) = {y_0}} \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = {y_0}
 \Leftrightarrow x + 1 = {y_0}x – {y_0}
 \Leftrightarrow ({y_0} – 1)x = {y_0} + 1
\end{array} $
Vì  $ {y_0} \in A $ nên  $ {y_0} \ne 1 $  do đó (1) có một và chỉ một nghiệm trong A: $ x = \frac{{{y_0} + 1}}{{{y_0} – 1}} $
Vậy  $ f $ là một song ánh.
b.    Ta có : $ \begin{array}{l}
f:x \in A \to y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}} \in A
 \Rightarrow x = \frac{{y + 1}}{{y – 1}}
\end{array} $
Vì  $ f $ là một song ánh : $ A \to A $
Nên tồn tại ánh xạ ngược  $ {f^{ – 1}}:A \to A $  xác định như sau : $ {f^{ – 1}}:x \to \frac{{x + 1}}{{x – 1}} $
Nhậ xét: $ f\left( x \right) = {f^{ – 1}}\left( x \right)\frac{{x + 1}}{{x – 1}} $
Vậy  $ {f^{ – 1}} = f $