Đề bài: Cho $a, c$ là hai hằng số; $f(x)$ là một hàm số xác định trên $R$ và thỏa mãn điều kiện$af(x) = f'(x),\forall x \in R$; $f(0) = c$. Chứng minh rằng $f(x) = ce^{ax},\forall x \in R$.Từ kết quả đó hãy tìm hàm $g(x)$ nếu biết: $\int\limits_0^x g(t)dt = g(x),\forall x \in R $
Lời giải
Ta có : ${\rm{[}}{e^{ – {\rm{ax}}}}f(x){\rm{]}}’ = {e^{ – {\rm{ax}}}}f'(x) – a{e^{ – {\rm{ax}}}}f(x)$
$ = a{e^{ – {\rm{ax}}}}f(x) – a{e^{ – {\rm{ax}}}}f(x) = 0 \Rightarrow a{e^{ – {\rm{ax}}}}f(x) = k$ ($k$ là hằng số)
$ \Rightarrow f(0) = c$ nên $c = k$. Vậy $f(x) = c{e^{{\rm{ax}}}}$.
Do $\int\limits_0^x {g(t)dt = g(x),{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}} $ nên $g(x)$ là hàm số liên tục trên $R$ và $g(0) = 0$.
Vì $g(x)$ liên tục nên
$g'(x) = {\left( {\int\limits_0^x {g(t)dt} } \right)’} = g(x),{\rm{ }}\forall x\in R$
Vậy ta có $\left\{ \begin{array}{l}
g(x) = g'(x),{\rm{ }} \forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}\\
{\rm{g(x) = 0}}
\end{array} \right.$
Áp dụng phần trên với $a = 1,{\rm{ c}} = 0$ ta có $g(x) = 0,{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \in {\rm{R}}$
Trả lời