Đề bài: Với những giá trị nào của $a$ và đối với mọi $b$, hãy tìm một số $c$ sao cho hệ sau có dù chỉ một nghiệm:  $ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + by = ac^2 + c\\bx + 2y = c – 1\end{array} \right.\\\end{array} $ 

Lời giải

Ta có:
$ \begin{array}{l}
D = 2 – {b^2};Dx = 2\left( {a{c^2} + c} \right) – b\left( {c – 1} \right) = 2a{c^2} + 2c – bc + b\\
Dy = c – 1 – b\left( {a{c^2} + c} \right) = c – 1 – ab{c^2} – bc
\end{array} $
–    Nếu  $ 2 – {b^2} \ne 0 \Leftrightarrow b \ne  \pm \sqrt 2  \Leftrightarrow D \ne 0 $
Hệ (2) có nghiệm duy nhất  $ \forall a,\forall c $ $ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{2a{c^2} + 2c – bc + b}}{{2 – {b^2}}}\\
y = \frac{{c – 1 – ab{c^2} – bc}}{{2 – {b^2}}}
\end{array} \right. $
–    Nếu  $ b = \sqrt 2 : $
Hệ trở thành:  $ \left\{ \begin{array}{l}
x + y\sqrt 2  = a{c^2} + c\\
x\sqrt 2  + 2y = c – 1
\end{array} \right. $
Hệ có nghiệm khi:  $ \begin{array}{l}
\left( {a{c^2} + c} \right)\sqrt 2  = c – 1
 \Leftrightarrow a{c^2}\sqrt 2  + \left( {\sqrt 2  – 1} \right)c + 1 = 0
\end{array} $
Ta có: c tồn tại  $  \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  – 1} \right)^2} – 4a\sqrt 2  \ge 0 $ $  \Leftrightarrow a \le \frac{{3\sqrt 2  – 4}}{8} $
–    Nếu  $ b =  – \sqrt 2  $
Hệ có nghiệm với điều kiện:  $ a{c^2}\sqrt 2  + \left( {\sqrt 2  + 1} \right)c – 1 = 0 $
Ta có: c tồn tại  $  \Leftrightarrow a \ge  – \frac{{3\sqrt 2  + 4}}{8} $
Vậy khi  $  – \frac{{3\sqrt 2  + 4}}{8} \le a \le \frac{{3\sqrt 2  + 4}}{8} $  thì luôn luôn tồn tại c sao cho  $ \forall b, $  hệ đã cho luôn có nghiệm.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số