Đề bài: Cho hệ:$\left\{ \begin{array}{l} (m+1)x-y=m-1              (1)\\ x+(m-1)y=2                                           (2) \end{array} \right. $1) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.2) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $x$ và $y$ nguyên.

Lời giải

1) Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
$D=\left| {\begin{matrix} m+1 & -1\\ 1 & m-1 \end{matrix}} \right| \neq  0 \Rightarrow  (m-1)(m+1)-(-1).1 \neq  0\Rightarrow m^2 \ne 0$, hay $m \neq  0$.

2) Trước hết ta giải HPT theo $m$.
$D_x=\left| {\begin{matrix} m-1 & -1\\ 2 & m-1 \end{matrix}} \right|=(m-1)^2+2=m^2-2m+3$
$D_y=\left| {\begin{matrix} m+1 & m-1\\ 1 & 2 \end{matrix}} \right|=2(m+1)-(m-1)=m+3$
Hệ có nghiệm $\begin{cases}x=\frac{D_x}{D} =\frac{m^2-2m+3}{m^2}\\ y=\frac{D_y}{D} =\frac{m+3}{m^2}\end{cases}$
Hệ có nghiệm nguyên khi $\left\{ \begin{array}{l} x= 1+\frac{3-2m}{m^2}  \\ y =\frac{m+3}{m^2} \end{array} \right. $là các số nguyên,
suy ra $S=x+2y-1=\frac{9}{m^2}$ là số nguyên.
Ta tìm $m$ nguyên để $S$ nguyên, từ đó tìm được $m \in \left\{ {\pm1; \pm3} \right\}$:
Thay lần lượt các giá trị trên của $m$ ta được các nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(6;2), (2;4), (2;0)$.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số