Đề bài: Tìm $a,b$ để hệ có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l} xyz+z=a              (1)\\ xyz^2+z=b             (2)\\x^2+y^2+z^2=4      (3)\end{array} \right.$

Lời giải

$\bullet$ Điều kiện cần
Thấy rằng $(x_0;y_0;z_0)$ là nghiệm của hệ thì $(-x_0;-y_0;-z_0)$ cũng là nghiệm của hệ.
Bởi thế,điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là $x_0=y_0=z_0$
Thay vào $(3)$ thu được $x=y=z=\pm 2$
Thay $z=\pm 2$ vào $(1),(2)$ thu được $a=b=z=\pm 2$
$\bullet$ Điều kiện đủ
*Với $a=b=2$,hệ trở thành $(II) \left\{ \begin{array}{l} xyz+z=2                (1′)\\ xyz^2+z=2              (2′)\\x^2+y^2+z^2=4        (3′)\end{array} \right.$
Trừ vế theo vế các phương trình $(1′)$ và $(2′)$ suy ra $xyz(z-1)=0\Rightarrow z=1$
-Với z=-1,$(II)$ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ x^2+y^2=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xy=1\\x+ y=\pm \sqrt{5} \end{array} \right.$
Xem hệ $\left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ x+y=\sqrt{5} \end{array} \right.                      (4)$
Rõ ràng $(4)$ là hệ đối xứng kiểu $1$,đồng thời có $S^2-4P=1>0$ suy ra $(4)$ có $2$ nghiệm.Suy ra với $z=1$ hệ có đã cho có không ít hơn 2 nghiệm.
Vậy $(a=b=2)$ không thích hợp   $(5)$
*Với $a=b=-2$,hệ trở thành $(III) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} xyz+z=-2          (1”)\\ xyz^2+z=-2        (2”)\\x^2+y^2+z^2=4     (3”) \end{array} \right.$
Rõ ràng $z=0$ không thỏa mãn hệ $(III)$.
Trừ vế theo vế các phương trình $(1”)$ và $(2″)$ suy ra $xyz(z-1)=0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=0}\\
{y=0}\\
{z=1}
\end{array}} \right.$
Với $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=0}\\
{y=0}\\
\end{array}} \right.$,dễ dàng suy ra $(II) \Leftrightarrow (0;0;-2)                          (6)$
Với $z=1$ ,$(II)$ trở thành $\left\{ \begin{array}{l} xy=-3\\ x^2+y^2=3 \end{array} \right.\Rightarrow (x+y)^2=-3 $   (mâu thuẫn)  $ (7)$
Từ $(5),(6),(7)$ suy ra (a=b=-2) là cặp giá trị duy nhất thích hợp với yêu cầu

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số