Lời giải
* Điều kiện cần
Thấy rằng $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ thì các cặp số sau đây cũng là nghiệm của hệ $(6-x_0;6-y_0); (6-y_0;6-x_0)$
Bởi thế $(x_0;y_0)$ là nghiệm duy nhất của hệ thì ta phải có $y_0=x_0=6-x_0 \Rightarrow y_0=x_0=3$. Thay vào hệ thu được $m=4$
* Điều kiện đủ
Với $m=4$, hệ trở thành $\begin{cases}\sqrt{1+x}+\sqrt{7-y}=4 \\ \sqrt{1+y}+\sqrt{7-x}=4 \end{cases}$
Cộng vế theo vế ta có: $(\sqrt{1+x}+\sqrt{7-x})+(\sqrt{1+y}+\sqrt{7-y})=8 (1)$
Theo Bu-nhi-a-cop-xki $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(\sqrt{1+x}+\sqrt{7-x}) \leq \sqrt{1+1}.\sqrt{1+7}=4}\\
{\sqrt{1+y}+\sqrt{7-y} \leq \sqrt{1+1}.\sqrt{1+7}=4}
\end{array}} \right.$
Cộng vế theo vế ta có: $(\sqrt{1+x}+\sqrt{7-x})+(\sqrt{1+y}+\sqrt{7-y}) \leq 8$
Dâu đẳng thức có khi $\begin{cases}\sqrt{1+x}=\sqrt{7-x} \\ \sqrt{1+y}=\sqrt{7-y} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=3 (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $m=4$
=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số
Trả lời