Đề bài: Tìm $a$ để hệ có nghiệm duy nhất $\begin{cases}\sqrt{7+x}+\sqrt{11-y}-4=\sqrt{4-3\sqrt{10-3a}} \\ \sqrt{7+y}+\sqrt{11-x}-4=\sqrt{4-3\sqrt{10-3a}} \end{cases}$

Lời giải

* Điều kiện cần
 Thấy rằng $(x_0;y_0)$ là nghiệm của hệ thì các cặp số sau đây cũng là nghiệm của hệ: $(y_0;x_0); (4-x_0;4-y_0); (4-y_0;4-x_0)$
Bởi thế $(x_0;y_0)$ là nghiệm duy nhất của hệ thì $y_0=x_0=4-x_0 \Rightarrow y_0=x_0=2$
Thay vào hệ thu được: $a-2=\sqrt{4-3\sqrt{10-3a}}$. Điều kiện $2Đặt $\sqrt{10-3a}=t-2, t>2             (2)$
Ta có hệ $\begin{cases}a-2=\sqrt{3-3(t-2)} \\ t-2=\sqrt{10-3a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(a-2)^2=10-3t                 (3)\\ (t-2)^2=10-3t \end{cases}$
Trừ vế theo vế ta có: $(a-1)(a+t-4)=3(a-t) \Leftrightarrow (a-t)(a+t-7)=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=a}\\
{t=7-a}
\end{array}} \right.$
Thế vào $(3)$
+ Với $t=a$ có $(3) \Leftrightarrow (a-2)^2=10-3a \Leftrightarrow a^2-a-6=0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a=3}\\
{a=-2    (  loại  do  (2))}
\end{array}} \right.   (4)$
+ Với $t=7-a$ có $(3) \Leftrightarrow (a-2)^2=10-3(7-a) \Leftrightarrow a^2-7a+15=0$ vô nghiệm do $\Delta=-11Vậy $a=3$ là điều kiện cần của bài toán
* Điều kiện đủ
 Với $a=3$ hệ trở thành $\begin{cases}\sqrt{7+x}+\sqrt{11-y}=6 \\ \sqrt{7+y}+\sqrt{11-y}=6 \end{cases}$
 Cộng vế theo vế ta có: $(\sqrt{7+x}+\sqrt{11-x})+(\sqrt{7+y}+\sqrt{11-y})=12        $
Theo Bu-nhi-a-cop-xki $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(\sqrt{7+x}+\sqrt{11-x}) \leq \sqrt{1+1}.\sqrt{7+11}=6}\\
{\sqrt{7+y}+\sqrt{11-y} \leq \sqrt{1+1}.\sqrt{7+11}=6}
\end{array}} \right.$
Cộng vế theo vế ta có: $(\sqrt{7+x}+\sqrt{11-x})+(\sqrt{7+y}+\sqrt{11-y}) \leq 12$
Dấu đẳng thức có khi $\begin{cases}\sqrt{7+x}=\sqrt{11-x} \\ \sqrt{7+y}=\sqrt{11-y} \end{cases} \Leftrightarrow x=y=2           (5)$
Từ $(4),(5)$ suy ra hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi $a=3$.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số