Đề bài: Cho hệ phương trình:  $ \left\{ \begin{array}{l}ax + y = b\\x + ay = c^2 + c\end{array} \right. $ a.    Với $b = 0$ : giải và biện luận theo $a$ và $c$.b.    Tìm $b$ để với mọi $a$, luôn luôn tồn tại $c$ sao cho hệ có nghiệm

Lời giải

a.    Xem hệ  $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + y = b\\
x + ay = {c^2} + c
\end{array} \right. $
Ta có: $ D = {a^2} – 1;{D_x} =  – {c^2} – c =  – c\left( {c + 1} \right);{D_y} = a\left( {{c^2} + c} \right) $
Có các khả năng sau:
–    Nếu  $ {a^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  \pm 1 $
Hệ có nghiệm duy nhất: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ – c\left( {c + 1} \right)}}{{{a^2} – 1}}\\
y = \frac{{ac\left( {c + 1} \right)}}{{{a^2} – 1}}
\end{array} \right. $
–    Nếu  $ a =  \pm 1\,\,\,c \ne 0,c \ne  – 1 $    vô nghiệm
–    Nếu  $ a =  \pm 1\,\,\,\,c = 0\,\,\,\,V\,\,\,c =  – 1 $    vô định.
b. Hệ đã cho tương đương với hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
y = b – ax\\
\left( {{a^2} – 1} \right)x + {c^2} + c – ab = 0
\end{array} \right.\,\,\,(1) $
Hệ có nghiệm  $  \Leftrightarrow  $  (1) có nghiệm
–    Nếu  $ a \ne  \pm 1 \Leftrightarrow  $ (1) có nghiệm duy nhất $  \Rightarrow  $ hệ có nghiệm duy nhất  $ \forall b. $
Do đó ta chỉ cần tìm b sao cho hệ có nghiệm khi  $ a =  \pm 1 $
–    Xét  $ a = 1: $
(1)    Chỉ có nghiệm khi  $ {c^2} + c – b = 0 $     (2)
Điều kiện để c tồn tại là
  $ \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 + 4b \ge 0 \Leftrightarrow b \ge  – \frac{1}{4} $       (2’)
–  $ a =  – 1 $
(1)    Chỉ có nghiệm khi  $ {c^2} + c – b = 0 $   (3)
Điều kiện để c tồn tại là:
  $ \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 1 – 4b \ge 0 \Leftrightarrow b \le \frac{1}{4} $     (3’)
Tìm b thỏa (2’) và (3’) và với các giá trị đó của b, các phương trình (2) và (3) có nghiệm chung:
Giả sử  $ c = {c_0} $  là nghiệm chung của (2) và (3)  $  \Rightarrow b = 0 $
Ngược lại nếu b = 0 thì (2) và (3) có nghiệm chung:  $ c = 0\,\,\,\,\,\,\,V\,\,\,\,\,c =  – 1 $
Vậy b = 0.

=========
Chuyên mục: Hệ phương trình chứa tham số