Đề bài: Tính tổng S của các nghiệm của phương trình  \(x({2^{x – 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2}\).

\(x({2^{x – 1}} + 4) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x – 1}} + 4x – {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {{2^{x – 1}} – x} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ {2^{x – 1}} – x = 0(*) \end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f(x) = {2^{x – 1}} – x\) trên ℝ.

 Ta có:  \(f'(x) = {2^{x – 1}}\ln 2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\)

   \(\begin{array}{l} f'(x) 0 \Leftrightarrow x > {x_0} \end{array}\)

Nên phương trình f(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm trong khoảng \(\left( { – \infty ;{x_0}} \right)\) và 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\).

Mà f(1)= f(2)=0 nên phương trình (*) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7