Đề bài: Phương trình \(x\left( {{2^{x – 1}} + 4} \right) = {2^{x + 1}} + {x^2}\) có tổng các nghiệm bằng bao nhiêu?

\(x\left( {{2^{x – 1}} + 4} \right) = {2^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow x{.2^{x – 1}} – {4.2^{x – 1}} + 4x – {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {x – 4} \right)\left( {{2^{x – 1}} – x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\{2^{x – 1}} – x = 0\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^{x – 1}} – x\) trên \(\mathbb{R},\) ta có:

\(f’\left( x \right) = {2^{x – 1}}\ln 2 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 1 + {\log _2}\left( {\frac{1}{{\ln 2}}} \right);f’\left( x \right) 0 \Leftrightarrow x > {x_0}\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\)có tối đa 1 nghiệm trong mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\)

Mà \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\)nên phương trình (*) có 2 nghiệm \(x = 1\) và \(x = 2\)

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7.