Câu hỏi:
Tìm m để phương trình \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m\) có nghiệm.
- A. \(m \le 5\)
- B. \(m \ge 4\)
- C. \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
- D. \(m>0\)
Có vấn đề về lời giải xin các bạn để lại phản hồi cuối bài.
Đáp án đúng: C
Ta có \({2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{1 + {{\sin }^2}x}} = m \Leftrightarrow {2^{{{\cos }^2}x}} + {2^{2 – {{\cos }^2}x}} = m\)
Đặt \(t = {2^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow 2 \ge {2^{{{\cos }^2}x}} \ge 1\,\,(Do\,0 \le t \le 1)\)
Khi đó bất phương trình trở thành: \(t + \frac{2}{t} = m\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \frac{4}{t}\) với \(t \in \left[ {2;1} \right]\)
Ta có: \(f’\left( t \right) = 1 – \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} – 4}}{{{t^2}}} \le 0\left( {\forall t \in \left[ {2;1} \right]} \right)\)
Do đó: \(f\left( t \right) \in \left[ {f\left( 2 \right);f\left( 1 \right)} \right] = \left[ {4;5} \right]\)
Vậy phương trình có nghiệm khi \(m \in \left[ {4;5} \right]\)
======
Xem lại lý thuyết và ví dụ học toán 12
Trả lời