Câu hỏi:
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 0,\,y = x\sqrt {\ln (x + 1)}\) và x = 1 xung quanh trục Ox.
- A. \(V = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 – 5)\)
- B. \(V = \frac{{5\pi }}{{18}}\)
- C. \(V = \frac{{5\pi }}{{6}}\)
- D. \(V = \frac{\pi }{6}(12\ln 2 – 5)\)
Đáp án đúng: A
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\ln (x + 1)dx}\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (x + 1)\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{1}{{x + 1}}dx\\ v = \frac{1}{3}{x^3} \end{array} \right.\)
Vậy:
\(\begin{array}{l} V = \pi \left[ {\left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln (x + 1)} \right|_0^1 – \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{x + 1}}dx} } \right] = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 – \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right]\\ = \pi \left[ {\frac{1}{3}\ln 2 – \int\limits_0^1 {\left( {({x^2} – x + 1) – \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} } \right] = \frac{\pi }{{18}}(12\ln 2 – 5). \end{array}\)
======
Xem lý thuyết Nguyên hàm – tích phân và ứng dụng tích phân.
Trả lời