Đề bài: Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{{ – x}}{{x + 1}},\) trục \({\rm{Ox}}\) và đường thẳng x=1 khi quay quanh trục Ox là \(V = \pi (a + b\ln 2)\) với \(a,b \in \mathbb{Q}.\) Tính tích a.b.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{ – x}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Ta có:

\( V = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ – x}}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi {\int\limits_0^1 {\left( {1 – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} ^2}dx = \pi \int\limits_0^1 {\left( {1 – \frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}}} \right)} dx = \pi \left. {\left( {x – 2\ln \left| {x + 1} \right| – \frac{1}{{x + 1}}} \right)} \right|_0^1 \)

\( = \left( {\frac{3}{2} – 2\ln 2} \right)\pi \)

Do đó \(a.b =  – 3.\)