Đề bài: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \(4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi giá trị \(x \in \left( {1;64} \right).\)

Điều kiện \(x > 0\)

\(4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x  \ge  – m\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = {\log _2}\sqrt x \). Khi \(x \in \left( {1;64} \right)\) \( \Rightarrow t \in \left( {0;3} \right)\).

Ta có bất phương trình \(4{t^2} + 2t \ge  – m\)

Xét \(f\left( t \right) = 4{t^2} + 2t;f’\left( t \right) = 8t + 2 > 0\) với \(\forall t \in \left( {0;3} \right)\).

Vậy phương trình có nghiệm khi \( – m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 0.\) .