Đề bài: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(4\log _4^2x – 2{\log _2}x + 3 – m = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{2};4} \right].\)

\(\begin{array}{l}4\log _4^2x – 2{\log _2}x + 3 – m = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {\frac{1}{2}{{\log }_2}x} \right)^2} – 2{\log _2}x + 3 – m = 0\\ \Leftrightarrow \log _2^2x – 2{\log _2}x + 3 – m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _2}x,\,\,do\,\,x \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;2} \right].\)

Khi đó: \({t^2} – 2t – 3 – m = 0 \Leftrightarrow m = {t^2} – 2t + 3\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} – 2t + 3,\,\,t \in \left[ { – 1;2} \right].\) Ta có: \(f’\left( t \right) = 2t – 2;\,\,f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = 6;\,\,f\left( 1 \right) = 2;\,\,f\left( 2 \right) = 3\) do đó phương trình có nghiệm thì \(2 \le m \le 6.\)