Đề bài: Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình \({7^x} + 3 = m.\sqrt {{{49}^x} + 1} \) có đúng một nghiệm là:

\({7^x} + 3 = m.\sqrt {{{49}^x} + 1}  \Leftrightarrow \frac{{{7^x} + 3}}{{\sqrt {{{49}^x} + 1} }} = m\)

Đặt \(t = {7^x},t > 0\) phương trình trở thành: \(m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = f\left( t \right),t > 0.\)

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{{1 – 3t}}{{{{\left( {\sqrt {{t^2} + 1} } \right)}^3}}} \Rightarrow f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – 3t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\).

Ta có bảng biến thiên hàm số \(f\left( t \right)\) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, với \(t > 0\), Pt có 1 nghiệm khi và chỉ khi \(m \in \left( {1;3} \right] \cup \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\)