Đề bài: Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh $a.$.Qua hai đỉnh $B,D$ ta kẻ hai tia $Bx,Dy$ cùng chiều và cùng vuông góc với $mp(ABCD)$.Một điểm $M$ thuộc $Bx$ và một điểm $N$ thuộc $Dy$ thỏa mãn hệ thức.$BM.DN=\frac{a^2}{2} $Đặt $\alpha =\widehat{BOM} $  và $\beta =\widehat{DON} $$a.$ Chứng minh hệ thức $\tan \alpha .\tan \beta =1$$b.$ Chứng minh $MN\bot AC$$c.$ Chứng minh $(ACM)\bot (CAN)$$d.$ Chứng minh $(AMN)\bot (CMN)$$e.$ Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $MN$.Chứng minh : $AH\bot HC$

Lời giải

$a.$ Ta có $OB=OD=\frac{a\sqrt{2} }{2}   $
$\tan \alpha =\frac{BM}{OB};\tan \beta =\frac{DN}{OD}  $
$\Rightarrow  \tan \alpha .\tan \beta =\frac{BM.DN}{OB.OD} $
$\Rightarrow  \tan \alpha .\tan \beta =\frac{\frac{a^2}{2} }{\frac{a\sqrt{2} }{2}.\frac{a\sqrt{2} }{2}  } $
$\Rightarrow  \tan \alpha .\tan \beta =1$
$\Rightarrow  \alpha ,\beta $ là hai góc phụ nhau $\alpha +\beta =90^0$
$b.$ Ta có $AC\bot (BMND)\Rightarrow  AC\bot MN$
$c.$ Do $\alpha +\beta =90^0\Rightarrow  \widehat{MON}=90^0 $
Hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ cắt nhau theo giao tuyến $AC$
Ta đã có
$AC\bot (BMND)\Rightarrow  OM\bot AC$ và $ON\bot AC$
$\Rightarrow  $ góc giữa hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $OM,ON$
$\widehat{MON}=90^0\Rightarrow   $ góc giữa hai mặt phẳng $(ACM),(ACN)$ bằng $90^0$ cho ta $(ACM)\bot (ACN)$
$d.$ Kẻ đường cao $OH$ của tam giác $OMN$.Trong tam giác vuông $MON$ ta có
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OM^2}+\frac{1}{ON^2}   $
với $OM=\frac{OB}{\cos \alpha }; ON=\frac{OB}{\cos \beta }  $ và vì $\alpha +\beta =90^0$
nên $\cos \beta =\sin \alpha $ tìm được
$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OB^2}\Rightarrow  OH=OB  $
hay $OH=\frac{1}{2} AC\Rightarrow  \Delta AHC$ vuông tại $H$
$\Rightarrow  AH\bot HC         (1)$
Ta cũng có $\left.\begin{matrix}MN\bot OH \\ MN\bot AC\end{matrix}\right\} \Rightarrow  MN\bot (AHC)$
$\Rightarrow  AH\bot MN          (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra
$AH\bot (CMN)$
mà $AH\subset  (AMN)$
$\Rightarrow  (AMN)\bot (CMN)$