Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB,AD;H$ là giao điểm của $CN,DM$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM,SC$ theo $a$.

Lời giải

Do $ABCD$ là hình vuông , vì $M,N$ là trng điểm của $AB,AD$
$\Rightarrow \triangle ADM= \triangle CDN\Rightarrow \widehat{NCD}=\widehat{ADM} \Rightarrow DM \bot CN$.
Do $SH \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot DM \Rightarrow DM \bot (SNC)$
Trong tam giác vuông $SHC$ từ $H$ kẻ $HK \bot SC$.
Vì $DM \bot (SNC)\Rightarrow DM \bot HK$.
$\Rightarrow HK$ là đường vuông góc chung của $DM$ và $SC$, nên $d(DM,SC)=HK$.

Theo hệ thức trong tam giác vuông $SHC$, ta có:
$\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{SH^2}+\frac{1}{HC^2}  (1)$
Vì $HC=DC. \cos \widehat{DCH}=a.\frac{DC}{NC}=a.\frac{a}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}  (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có : $\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{4a^2}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{57}}{19}$.