Đề bài: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD, H$ là giao điểm của $CN$ và $DM.$ Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $ABCD$ và $SH$ =$a \sqrt{ 3}.$ Tính thể tích khối chóp $S.CDNM$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$ theo $a.$

Lời giải

Trong đáy $ABCD$, do $\Delta MAD=\Delta NDC \Rightarrow CN  $ vuông góc với $DM$ tại $H$.
$S_{CDNM}=S_{ABCD}- \left( S_{AMN}+S_{BCM}   \right) = a^{2} – \left(  \frac{ a^{2}}{8}+ \frac{ a^{2}}{4}  \right) = \frac{ 5a^{2}}{8}$
$\Rightarrow V_{S_{CDMN}}= \frac{ 1}{3}. \left( \frac{ 5a^{2}}{8}   \right).a \sqrt{ 3}= \frac{ 5a^{3} \sqrt{ 3}}{24} $
Theo  giả thiết thì $DM$ vuông góc $(SCH) \Rightarrow DM $ vuông góc $CH$
$\Rightarrow DM$ vuông góc $SC$
Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc $SC$ thì $HK$ là đoạn vuông góc chung của $SC$ và $DM$
$\Leftrightarrow HK$ là khoảng cách giữa $SC$ và $DM$.
$S_{CDM}= S_{ABCD}- \left(  S_{ADM}+ S_{BCM}  \right)= a^{2} – \left( \frac{ a^{2}}{4}+\frac{ a^{2}}{4}  \right)  = \frac{ a^{2} }{2}$
$S_{CDM}= \frac{ a^{2} }{2}= \frac{ 1}{2} CH.DM $
$\Rightarrow CH= \frac{ a^{2} }{DM}= \frac{ a^{2} }{ \sqrt{ AD^{2}+AM^{2}}}= \frac{ a^{2} }{ \frac{  a \sqrt{ 5}}{2}} =\frac{2a}{\sqrt5}$
Trong tam giác vuông $SCH$:
$\frac{ 1}{HK^{2}}= \frac{ 1}{SH^{2}}+ \frac{ 1}{CH^{2}}= \frac{ 1}{3 a^{2} }+ \frac{ 1}{ \frac{ 4 a^{2} }{5}}= \frac{ 1}{3 a^{2} }+ \frac{ 5}{4 a^{2} }= \frac{ 19}{12 a^{2}   }\Rightarrow HK= \frac{ 2a \sqrt{ 3}}{ \sqrt{ 19}}$

Vậy $HK=
\frac{ 2a \sqrt{ 3}}{ \sqrt{ 19}} (đvd)$