Có tất cả bao nhiêu cặp các số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right) + 1}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + {y^2} – 1} \right)}} < 1\)? A. \(4\). B. \(5\). C. \(6\). D. \(7\).

Có tất cả bao nhiêu cặp các số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right) + 1}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + {y^2} – 1} \right)}} < 1\)? A. \(4\). B. \(5\). C. \(6\). D. \(7\). Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Xét trường hợp \({\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} – 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < {x^2} + {y^2} - 1 < 1\)\( \Leftrightarrow 1 < {x^2} + {y^2} < 2\,\,\,\left( 1 \right)\) Do \(x\) và \(y\) là các số nguyên nên không tồn tại \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) Xét trường hợp \({\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} > 2\,\,\left( * \right)\)
Khi đó bất phương trình \(\frac{{{{\log }_2}\left( {{x^2} – 2x + {y^2}} \right) + 1}}{{{{\log }_2}\left( {{x^2} + {y^2} – 1} \right)}} < 1\)\( \Leftrightarrow {\log _2}2\left( {{x^2} - 2x + {y^2}} \right) < {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4x + 2{y^2} < {x^2} + {y^2} - 1\\{x^2} - 2x + {y^2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} < 3\,\,\,\,\left( 2 \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} > 1\,\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)\(\)
Từ \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 2} \right)^2} < 3\\{y^2} < 3\end{array} \right.\) do \(x\,,\,y\) nguyên nên \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3} \right\}\\y \in \left\{ { - 1\,;\,0\,;\,1} \right\}\end{array} \right.\) Ta có bảng sau:

Vậy có tất cả \(5\) cặp \(\left( {x\,;\,y} \right)\) thỏa mãn bài toán.