Có hai xã cùng ở một bên bờ sông

Có hai xã cùng ở một bên bờ sông. Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm $A,B$ của hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $AA’=118m$, $BB’=487m$ và ${A}'{B}’=492m$ (Hình vẽ). Các kĩ sư muốn xây một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn ${A}'{B}’$ sao cho tổng khoảngcách từ hai vị trí $A,B$ đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: 780

Lời giải: Ta đặt $A’M=x$, khi đó ta được:
$MB’=492-x,AM=\sqrt{{{x}^{2}}+{{118}^{2}}},BM=\sqrt{{{(492-x)}^{2}}+{{487}^{2}}}\text{.}$
Như vậy ta có hàm số $f\left( x \right)$ được xác định bằng tổng quãng đường $AM$ và $MB$ :
$f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+{{118}^{2}}}+\sqrt{{{(492-x)}^{2}}+{{487}^{2}}}$ với $x\in \left[ 0;492 \right]$
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm $M$.
${f}’\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{118}^{2}}}}-\dfrac{492-x}{\sqrt{{{(492-x)}^{2}}+{{487}^{2}}}}\text{. }$
${f}’\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{118}^{2}}}}=\dfrac{492-x}{\sqrt{{{(492-x)}^{2}}+{{487}^{2}}}}\Leftrightarrow x\sqrt{{{(492-x)}^{2}}+{{487}^{2}}}=\left( 492-x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+{{118}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}\left[ {{\left( 492-x \right)}^{2}}+{{487}^{2}} \right]={{(492-x)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{118}^{2}} \right) \\ 0\le x\le 492 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{(487x)}^{2}}={{(58056-118x)}^{2}} \\ 0\le x\le 492 \\ \end{matrix} \right. \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{58056}{605}\text{ hay }x=-\dfrac{58056}{369}\Leftrightarrow x=\dfrac{58056}{605} \\ 0\le x\le 492 \\ \end{matrix} \right.$
Hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;492 \right]$. So sánh các giá trị của $f\left( 0 \right),f\left( \dfrac{58056}{605} \right),f\left( 492 \right)$ ta có giá trị nhỏ nhất là $f\left( \dfrac{58056}{605} \right)\approx 779,8\text{ m}$
Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ $779,8\text{ m}$.