DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\)?
A. Vô số.
B. \(3\).
C. \(1\).
D. \(2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
\({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x – 1 = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} – 4{\sin ^2}y.co{s^2}y + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} – 4{\sin ^2}y.co{s^2}y + 2{\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right)^2}\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} + 2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)\).
Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t,\,\,\forall \,t > 0 \Rightarrow f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall \,t > 0\).
\( \Rightarrow \) hàm số \(y = f(t)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Vì vậy\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}}\).
Ta có: \({\sin ^4}y + {\cos ^4}y = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2y \in \left[ {\frac{1}{2}\,;\,1} \right]\) nên \(1 \le 2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right) \le 2\)
\( \Leftrightarrow 2 \le {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} \le 4 \Leftrightarrow 2 \le x + 1 \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).
Mà \(x\) là số nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn đề bài.
– Tư duy + Casio:
+ Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\) hay VT\( = \)VP.
+ Đối với dạng hàm lượng giác thì hãy khảo sát:
+ Ta nhận xét: Hàm lượng giác chỉ dao động từ \(1\) đến \(4\).
Suy ra: \(1 \le {\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).
Mà \(x\) là số nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn đề bài.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========
Trả lời