Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\)?

DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

ĐỀ BÀI:

Có bao nhiêu số nguyên dương \(x\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\)?

A. Vô số. 

B. \(3\). 

C. \(1\). 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

– Tự luận:

\({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x – 1 = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} – 4{\sin ^2}y.co{s^2}y + 2\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} – 4{\sin ^2}y.co{s^2}y + 2{\left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right)^2}\end{array}\) 

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} + 2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)\).

Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t,\,\,\forall \,t > 0 \Rightarrow f'(t) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall \,t > 0\).

\( \Rightarrow \) hàm số \(y = f(t)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Vì vậy\( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}}\).

Ta có: \({\sin ^4}y + {\cos ^4}y = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2y \in \left[ {\frac{1}{2}\,;\,1} \right]\) nên \(1 \le 2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right) \le 2\) 

\( \Leftrightarrow 2 \le {2^{2\left( {{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y} \right)}} \le 4 \Leftrightarrow 2 \le x + 1 \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).

Mà \(x\) là số nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn đề bài. 

– Tư duy + Casio:

+ Ta có: \({\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x = {4^{{{\sin }^4}y + {{\cos }^4}y}} – {\sin ^2}2y\) hay VT\( = \)VP.

+ Đối với dạng hàm lượng giác thì hãy khảo sát: 

+ Ta nhận xét: Hàm lượng giác chỉ dao động từ \(1\) đến \(4\).

Suy ra: \(1 \le {\log _2}\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) + x \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x \le 3\).

Mà \(x\) là số nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;\,2;\,3} \right\}\).

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của \(x\) thỏa mãn đề bài. 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

1. ĐẠO HÀM g'(x)

2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)

3. Lập BBT xét dấu g'(x)

4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.

===========