ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn \({5^x} = {\log _5}\left( {x + y} \right) + y.\) Biết rằng \(\left| y \right| \le 2020.\)
A. \(2020\).
B. \(2019\).
C. \(1010\).
D. \(1018\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
– Tự luận:
Điều kiện \(x + y > 0.\) Đặt \({\log _5}\left( {x + y} \right) = t \Leftrightarrow x + y = {5^t}\)
Khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^x} = t + y}\\{{5^t} = x + y}\end{array} \Leftrightarrow {5^t} + t = {5^x} + x} \right.\)
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {5^u} + u \Rightarrow f’\left( u \right) = {5^u}.\ln 5 + 1 > 0\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến với mọi \(u \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(f\left( t \right) = f\left( x \right) \Rightarrow t = x\)
Khi đó: \({5^x} = x + y \Leftrightarrow y = {5^x} – x\)
Đặt \(g\left( x \right) = {5^x} – x \Rightarrow g’\left( x \right) = {5^x}.\ln 5 – 1 = 0 \Leftrightarrow x = – {\log _5}\left( {\ln 5} \right)\)
\(g’\left( 0 \right) = \ln 5 – 1 > 0\)
Để phương trình có nghiệm thì \(y \ge \frac{1}{{\ln 5}} + {\log _5}\left( {\ln 5} \right) \approx 0,917\)
Mà \(\left| y \right| \le 2020\) nên có đúng \(2020\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
– Tư duy + C. asio:
Đặt \({\log _5}\left( {x + y} \right) = t \Leftrightarrow x + y = {5^t} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^x} = t + y}\\{{5^t} = x + y}\end{array} \Leftrightarrow {5^t} + t = {5^x} + x} \right.\)
Áp dụng kỹ thuật CALC: Cho \(x = 0.01 \Rightarrow t = 0.01 = x \Leftrightarrow x + y = {5^x} \Leftrightarrow y = {5^x} – x.\)
Ta lại có: \(\left| y \right| \le 2020 \Leftrightarrow \left| {{5^x} – x} \right| \le 2020.\) Bấm đạo hàm tìm cực trị.
Để phương trình có nghiệm thì \(y \ge \frac{1}{{\ln 5}} + {\log _5}\left( {\ln 5} \right) \approx 0,917\)
Mà \(\left| y \right| \le 2020\) nên có đúng \(2020\) giá trị nguyên của \(y\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. ĐẠO HÀM g'(x) 2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x) 3. Lập BBT xét dấu g'(x) 4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán. ===========
Để lại phản hồi