Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) trong khoảng \(\left( { – 20\,;\,21} \right)\) để phương trình \({2.3^{{{\log }_2}{x^2} + 1}} – \left( {7m – 48} \right){.3^{{{\log }_2}x}} + {m^2} – 8m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1}{x_2} > 2\)? A. \(41\). B. \(42\). C. \(11\). D. \(12\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) trong khoảng \(\left( { – 20\,;\,21} \right)\) để phương trình \({2.3^{{{\log }_2}{x^2} + 1}} – \left( {7m – 48} \right){.3^{{{\log }_2}x}} + {m^2} – 8m = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1}{x_2} > 2\)?
A. \(41\). B. \(42\). C. \(11\). D. \(12\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

Tập xác định \(D = \left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Ta có \({2.3^{{{\log }_2}{x^2} + 1}} – \left( {7m – 48} \right){.3^{{{\log }_2}x}} + {m^2} – 8m = 0 \Leftrightarrow {6.3^{2{{\log }_2}x}} – \left( {7m – 48} \right){.3^{{{\log }_2}x}} + {m^2} – 8m = 0\) \(\left( 1 \right)\).
Đặt \(t = {3^{{{\log }_2}x}}\), \(t > 0\). Ta được phương trình bậc hai \(6{t^2} – \left( {7m – 48} \right)t + {m^2} – 8m = 0\) \(\left( 2 \right)\) có
\(\Delta = {\left( {7m – 48} \right)^2} – 24\left( {{m^2} – 8m} \right) = {\left( {5m – 48} \right)^2} \ge 0\,\,,\,\forall m\).
Suy ra phương trình trên có nghiệm \({t_1} = 2m – 16\), \({t_2} = \frac{m}{3}\).
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt dương
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m – 16 > 0\\\frac{m}{3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 8\). Vì \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { – 20\,;\,21} \right)\) nên \(m \in \left\{ {9\,;\,10\,;\,11\,;\,…\,;\,20} \right\}\) \(\left( * \right)\).
Khi đó \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \({t_1}\), \({t_2}\) thỏa mãn
\({t_1}.{t_2} = \frac{{{m^2} – 8m}}{6} \Leftrightarrow {3^{{{\log }_2}{x_1}}}{.3^{{{\log }_2}{x_2}}} = \frac{{{m^2} – 8m}}{6} \Leftrightarrow {3^{{{\log }_2}{x_1} + {{\log }_2}{x_2}}} = \frac{{{m^2} – 8m}}{6} \Leftrightarrow {3^{{{\log }_2}\left( {{x_1}{x_2}} \right)}} = \frac{{{m^2} – 8m}}{6}\).
Từ \({x_1}{x_2} > 2\) \( \Rightarrow {\log _2}\left( {{x_1}{x_2}} \right) > 1\) \( \Rightarrow {3^{{{\log }_2}\left( {{x_1}{x_2}} \right)}} > 3\) \( \Rightarrow \frac{{{m^2} – 8m}}{6} > 3 \Leftrightarrow {m^2} – 8m > 18\)
\( \Leftrightarrow m \in \left( { – \infty \,;\,4 – \sqrt {34} } \right) \cup \left( {4 + \sqrt {34} \,;\, + \infty } \right)\).
Kết hợp với điều kiện \(\left( * \right)\), ta được \(m \in \left\{ {10\,;\,11\,;\,…\,;\,20} \right\}\).