Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\sqrt {4 – \sqrt x } – m\sqrt {4 + \sqrt x } } \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{{16}}{9}} \right)\).

Câu hỏi:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { – 10;10} \right]\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\sqrt {4 – \sqrt x } – m\sqrt {4 + \sqrt x } } \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{{16}}{9}} \right)\).

A. \(19.\)

B. \(17.\)

C. \(18.\)

D. \(16.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(t = \sqrt x \), ta được \(t = \sqrt x \) đồng biến và \(t \in \left( {0;\frac{4}{3}} \right),\forall x \in \left( {0;\frac{{16}}{9}} \right)\)

Khi đó yêu cầu của bài toán trở thành \(h\left( t \right) = \left| {m\sqrt {4 + t} – \sqrt {4 – t} } \right| = \left| {g\left( t \right)} \right|\)đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\).

Ta có:\(g’\left( t \right) = \frac{m}{{2\sqrt {4 + t} }} + \frac{1}{{2\sqrt {4 – t} }}\) và \(h’\left( t \right) = \frac{{g\left( t \right)g’\left( t \right)}}{{\left| {g\left( t \right)} \right|}},g\left( t \right) \ne 0\)

Do đó hàm số \(h\left( t \right) = \left| {m\sqrt {4 + t} – \sqrt {4 – t} } \right| = \left| {g\left( t \right)} \right|\)đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{g\left( t \right)g’\left( t \right)}}{{\left| {g\left( t \right)} \right|}} \ge 0,\forall t \in \left( {0;\frac{4}{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( t \right) > 0\\g’\left( t \right) \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}g’\left( t \right) \le 0\\g\left( t \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\forall t \in \left( {0;\frac{4}{3}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) \ge 0\\\frac{{\sqrt {4 + t} }}{{\sqrt {4 – t} }} \ge – m\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4 + t} }}{{\sqrt {4 – t} }} \le – m\\g\left( 0 \right) \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.,\forall t \in \left( {0;\frac{4}{3}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2m – 2 \ge 0\\ – m \le 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 \le – m\\2m – 2 \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le – \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vậy có \(19\) giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { – 10;10} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC