Cho \(x,y,z\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\\x + y + z = 2\end{array} \right.\) và hàm số\(f\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x} \right)\ln 2\). Đặt \(g\left( x \right) = {2020^{f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)}} – {2021^{\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) – f\left( x \right) – x}}\) . Số nghiệm thực của phương trình \(g’\left( x \right) = \,0\) là

Câu hỏi:

Cho \(x,y,z\) thoả mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\\x + y + z = 2\end{array} \right.\) và hàm số\(f\left( x \right) = \left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + x} \right)\ln 2\). Đặt \(g\left( x \right) = {2020^{f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)}} – {2021^{\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) – f\left( x \right) – x}}\) . Số nghiệm thực của phương trình \(g’\left( x \right) = \,0\) là

A. 3.

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Lời giải

Hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\\x + y + z = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {y + z} \right)^2} + {x^2} – 2yz = 2\\y + z = 2 – x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + z = 2 – x\\yz = {x^2} – 2x + 1\end{array} \right.\) .

\( \Rightarrow y\,,\,z\) là nghiệm của phương trình \({t^2} – \left( {2 – x} \right)t + {x^2} – 2x + 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\).

Hệ phương trình có nghiệm phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \({\left( {2 – x} \right)^2} – 4\left( {{x^2} – 2x + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 4x – 3{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\) .

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {2020^{f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)}} – {2021^{\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) – f\left( x \right) – x}}\) trên \(\left[ {0 & ;\,\frac{4}{3}} \right]\).Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\)với \(h’\left( x \right) = f’\left( x \right) – \ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\)

Ta có \(g’\left( x \right) = h’\left( x \right)\left( {{{2020}^{f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)}}\ln 2020 + {{2021}^{\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) – f\left( x \right) – x}}\ln 2021} \right)\)

Vì \(\left( {{{2020}^{f\left( x \right) + x – \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)}}\ln 2020 + {{2021}^{\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) – f\left( x \right) – x}}\ln 2021} \right) > 0\) \(\forall x \in \left[ {0;\frac{4}{3}} \right]\)nên \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow h’\left( x \right) = f’\left( x \right) – \ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 4x + 1} \right)\ln 2 = \ln \left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right) \Leftrightarrow {x^2} – 4x + 1 = {\log _2}\left( {x – 1 + \sqrt 3 } \right)\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nhận xét: Với \(x \in \left[ {0 & ;\,\frac{4}{3}} \right]\),VT là hàm số nghịch biến và VP là hàm số đồng biến

Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\)nếu có nghiệm \(x \in \left[ {0 & ;\,\frac{4}{3}} \right]\)thì đó là nghiệm duy nhất.

Mà \(x = 2 – \sqrt 3 \in \left[ {0 & ;\,\frac{4}{3}} \right]\)thỏa mãn phương trình \(\left( 2 \right)\)nên \(g’\left( x \right) = 0\)có 1 nghiệm.

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Phương trình và bất phương trình Logarit