Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \left( {x + y – 1} \right)\left( {2x + 2y – 1} \right) – 4\left( {xy + 1} \right) – 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{16x + 11y – 19}}{{2x + y + 1}}\) bằng A. \(3\). B. \(1\). C. \(5\). D. \(4\).

Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \left( {x + y – 1} \right)\left( {2x + 2y – 1} \right) – 4\left( {xy + 1} \right) – 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{16x + 11y – 19}}{{2x + y + 1}}\) bằng
A. \(3\). B. \(1\). C. \(5\). D. \(4\).
Lời giải chi tiết
PHÁT TRIỂN TƯƠNG TỰ CÂU 47 ĐỀ TOÁN THAM KHẢO 2021 CỦA BỘ.
BIÊN SOẠN TỪ STRONG TEAM TOÁN VDC – BIÊN TẬP WEB BOOKTOAN.COM

\({2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \left( {x + y – 1} \right)\left( {2x + 2y – 1} \right) – 4\left( {xy + 1} \right) – 1\).
\( \Leftrightarrow {2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – \left( {3x + 3y + 4} \right) + 1 – 1\).
\( \Leftrightarrow {2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – \left( {3x + 3y + 4} \right)\).
\( \Leftrightarrow {2^{3x + 3y + 4}} – {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – \left( {3x + 3y + 4} \right)\).
\( \Leftrightarrow {2^{3x + 3y + 4}} + \left( {3x + 3y + 4} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {2^{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}}\;\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {2^t}\) đồng biến trên khoảng \(\mathbb{R}\)nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {3x + 3y + 4} \right) = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\;\;\)
Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} \le \left( {3x + 3y + 4} \right)\; \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} – 3\left( {x + y} \right) – 4 \le 0\;\)
\( \Leftrightarrow – 1 \le x + y \le 4\). Do \(x,y\) là các số thực dương nên \(0 < x + y \le 4 \Rightarrow x + y - 4 \le 0\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 4 \le 0\\2x + y + 1 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{x + y – 4}}{{2x + y + 1}} \le 0\)
Suy ra \(P = \frac{{16x + 11y – 19}}{{2x + y + 1}} = \frac{{5\left( {2x + y + 1} \right) + 6\left( {x + y – 4} \right)}}{{2x + y + 1}} = 5 + 6\frac{{x + y – 4}}{{2x + y + 1}} \le 5\).
Vậy \({P_{\max }} = 5\) xảy ra khi \(x = y = 2\).