DẠNG TOÁN PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
ĐỀ BÀI:
Cho \(x\), \(y\), \(a\), \(b\) là các số thực thỏa mãn \(a > b > 1\) và \({a^{x + 1}} = {b^{2y}} = \frac{a}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + y\) là
A. \( – 2\).
B. \( – \frac{{13}}{4}\).
C. 4.
D. \(\frac{3}{4}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với \(x\), \(y\), \(a\), \(b\) là các số thực thỏa mãn \(a > b > 1\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{a^{x + 1}} = \frac{a}{b}\\{b^{2y}} = \frac{a}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{a^{x + 1}} = {\log _a}\frac{a}{b}\\{\log _b}{b^{2y}} = {\log _b}\frac{a}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 1 – {\log _a}b\\2y = {\log _b}a – 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\\2y = {\log _b}a – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\\y = \frac{{ – x – 1}}{{2x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\\2xy = – x – 1\end{array} \right.\).
Ta có \(P = {x^2} + {y^2} + y = {\left( {x + y} \right)^2} – 2xy + y = {\left( {x + y} \right)^2} + x + 1 + y = {\left( {x + y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + \frac{1}{2} = 0\\2xy = – x – 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\x + y + \frac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\y = \frac{{ – 1 – \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\y = \frac{{ – 1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\).
Tư duy + Casio
Ta có: \({\rm{a}} > {\rm{b}} > 1.\) Cho \({\rm{a}} = 2,\;{\rm{b}} = 1.5\) suy ra \({2^{{\rm{x}} + 1}} = {1.5^{2{\rm{y}}}} = \frac{4}{3}\), giải tìm \({\rm{x}},{\rm{y}}\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{x + 1}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x \approx – 0.58}\\{{{1.5}^{2y}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow y \approx 0.35}\end{array} \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + y \approx 0.81 \approx 0.75} \right.\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
1. ĐẠO HÀM g'(x)
2. DÙNG HÀM ĐẶC TRƯNG, BIẾN ĐỔI MŨ, LOGARIT ĐỂ CÔ LẬP m = g'(x)
3. Lập BBT xét dấu g'(x)
4. Dựa vào BBT xét các điều kiện thoat yêu cầu bài toán.
===========
Trả lời