Câu hỏi:
Cho tập hợp số \(A = \left\{ {1;\;2;\;3;…;2019} \right\}\). Lấy ngẫu nhiên ra hai số, tính xác suất để lấy được hai số mà bình phương số này cộng ba lần số kia đều là các số chính phương.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Gọi hai số được lấy ra đồng thời từ tập A thỏa mãn yêu cầu bài toán là
\(x,\;y\;\left( {x,\;y \in \mathbb{Z}_ + ^*,x \ne y} \right)\).
Không làm mất tính tổng quát giả sử x > y.
\({x^2} + 3y = {k^2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}_ + ^*,k > x} \right)\). Ta thấy rằng \(4x > 3x > 3y\). Đặt \(k = x + t\left( {t \ge 1} \right)\)
Nếu \(t \ge 2\) thì \({x^2} + 2xt + {t^2} = {k^2} \Rightarrow 2xt + {t^2} = 3y \Rightarrow 3y \ge 2xt \ge 4x\) (Vô lý)
Nên \(t < 2 \Rightarrow t = 1\). Khi đó, \(2x + 1 = 2y \Rightarrow x = \frac{{3y – 1}}{2},\;3x = \frac{{9y – 3}}{2} < 6y\) (*)
Tương tự: \({y^2} + 3x = {m^2}\;\left( {m \in \mathbb{Z}_ + ^*,m > y} \right)\). Đặt \(m = y + z\)
Nếu \(z \ge 3\) thì \({m^2} = {y^2} + 2yz + {z^2} \Rightarrow 3x = 2yz + {z^2} \Rightarrow 3x \ge 2yz \ge 6y\) ( Vô lý với (*)).
Nên \(z < 3 \Rightarrow z = \left\{ {1,2} \right\}\)
Với \(z = 1 \Rightarrow \frac{{9y – 3}}{2} = 2y + 1 \Rightarrow y = 1,\;x = 1\) (loại).
Với \(z = 2 \Rightarrow \frac{{9y – 3}}{2} = 4y + 4 \Rightarrow y = 11,\;x = 16\)
Suy ra: \(\left( {x;y} \right) = \left( {16;11} \right)\)
Số phần tử của biến cố bằng 1.
Vậy xác suất của biến cố là \(\frac{1}{{C_{2019}^2}}.\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất
Trả lời