Cho tập hợp A = {1;2;3;4…;100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S. Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng?

Giả sử tập con bất kì {a,b,c}∈S⇒1≤a,b,c≤100 a,b,c phân biệt.

a+b+c=91.

Số bộ a,b,c là \(
C_{91 – 1}^{3 – 1}\)

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là 3.45=135 (bộ). ( Không có bộ nào có 3 số giống nhau vì a+b+c=91)

Vậy \(
n\left( {\rm{\Omega }} \right) = \left( {C_{90}^2 – 3.45} \right):3! = 645\)

Gọi A là biến cố: ”a,b,c lập thành cấp số nhân”

Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q>0

\(\begin{array}{l}
a + aq + a{q^2} = 91 \Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 91\\
\Leftrightarrow {q^2} + q + 1 – \frac{{91}}{a} = 0
\end{array}\)

Thử a=1,2,..,91 và bấm máy tính tìm qq ta được các trường hợp sau:

+) a=1,q=9 nên bộ ba số là 1;9;81

+) a=7,q=3 nên bộ ba số là 7;21;63

+) a=13,q=2 nên bộ ba số là 13;26;52

+) a=25,q=6/5 nên bộ ba số là 25;30;36

Vậy có bốn bộ số thỏa mãn. \(P\left( A \right) = \frac{4}{{645}}\)