Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó hai số chẵn không thể đứng cạnh nhau?

Giả sử số có 6 chữ số thỏa đề bài có dạng \(
M = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \)

Nhận xét : Trong các vị trí \(
{a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} {a_4},{\mkern 1mu} {a_5},{\mkern 1mu} {a_6}\) có tối đa 3 chữ số là số chẵn được lấy từ tập A.

TH1: Số M chỉ chứa 1 chữ số chẵn.

) a₁ chẵn : a₁ có 4 cách chọn

Các vị trí \({a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} {a_4},{\mkern 1mu} {a_5},{\mkern 1mu} {a_6}\) là số lẻ nên có 5! cách xếp

Trường hợp  này có : 4.5!=480 cách chọn.

) a₁ lẻ : a₁ có 5 cách chọn

Chọn một chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ và xếp chúng ở 5 vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\)  có \(
C_5^1C_4^45!\) cách

Trường hợp  này  có : \(
5C_5^1C_4^45! = 3000\) cách chọn.

TH2: Số M có chứa 2 chữ số chẵn .

) a₁ chẵn : a₁ có 4 cách chọn

Vị trí a₂ là số lẻ nên a₂ có 5 cách chọn .

Chọn một chữ số chẵn và 3 số lẻ và xếp chúng vào 4 vị trí còn lại có \(
C_4^1C_4^34!\) cách

Trường hợp này có : \(
4.5.C_4^1C_4^34! = 7680\)cách chọn.

) a1a1lẻ : a1a1 có 5 cách chọn

Ở các vị trí \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) có 3 chữ số lẻ , ta tạo được 4 vách ngăn , chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 4 vách ngăn đó.

Chọn 3 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 3 vị trí còn lại, vậy có \(
C_5^2C_4^2C_4^32-8\) cách.

Trường hợp này này có \(
5C_5^2C_4^2C_4^32-8 = 14400\) cách

TH3: Số M có chứa 3 chữ số chẵn.

) a₁ chẵn :  a₁ có 4 cách chọn.

Vị trí a₂ lẻ nên a₂ có 5 cách chọn.

Ở các vị trí \(a_3,a_4,a_5,a_6\) có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn .Chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \(
C_4^22!C_4^2C_3^22!\) cách.

Trường hợp này có:  \(
4.5C_4^22!C_4^2C_3^22! = 8640\) cách chọn.

) a₁ lẻ : a₁ có 5 cách chọn

Ở các vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn.

Chọn ba chữ số chẵn và đặt vào 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \(
C_5^33!C_4^22!\) cách.

Trường hợp này có \(
5C_4^23!C_5^32! = 3600\) cách chọn.

Vậy có : 480+3000+7680+14400+8640+3600=37800 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn C