Câu hỏi:
Cho tập \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}\). Gọi S là tập hợp gồm 5 chữ số khác nhau chọn từ các phần tử của tập A. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 15.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Số phần tử của tập S là 6.6.5.4.3 = 2160.
Gọi \(\Omega \) là không gian mẫu. Khi đó \(n\left( \Omega \right) = 2160\).
Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 15”.
Gọi \(\overline {abcde} \) là số có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15 chọn từ các phần tử của tập A.
Ta có \(15 = 3.5,\,\,\left( {3,5} \right) = 1\). Do đó \(\overline {abcde} \vdots 15 \Leftrightarrow \overline {abcde} \vdots 5\) và \(\overline {abcde} \vdots 3\).
TH1. e = 0. Khi đó \(\overline {abcde} \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 3\) khi và chỉ khi
\(a,b,c,d \in \left\{ {1;2;4;5} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;2;1} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;2;5} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;4;1} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;4;5} \right\}\).
Vậy trong trường hợp này có 5.4! = 5! = 120 số tự nhiên.
TH2. e = 5. Khi đó \(\overline {abcde} \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {a + b + c + d + 5} \right) \vdots 3 \Leftrightarrow a + b + c + d:3\) dư 1 khi và chỉ khi
\(a,b,c,d \in \left\{ {3;2;4;1} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {6;2;4;1} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {0;2;4;1} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;0;2} \right\}\) hoặc \(a,b,c,d \in \left\{ {3;6;0;4} \right\}\).
Vậy trong trường hợp này có 2.4! + 3.3.3.2.1 = 102 số tự nhiên.
Do đó \(n\left( B \right) = 120 + 102 = 222\).
Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{222}}{{2160}} = \frac{{37}}{{360}}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất
Trả lời