Cho số nguyên dương n thỏa mãn \( C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n – 1} = 512\). Tính tổng \( S = {2^2}C_n^2 – {3^2}C_n^3 + \cdots + {( – 1)^n}{n^2}C_n^n\)

Ta có

\(
{\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.x + C_{2n}^2.{x^2} + C_{2n}^3.{x^3} + \cdots + C_{2n}^{2n – 1}.{x^{2n – 1}} + C_{2n}^{2n}.{x^{2n}}(1)\)

Thay x=1 vào (1) ta có: 

\(
{2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n – 1} + C_{2n}^{2n}(2)\)

Thay x=−1 vào (1) ta có: 

\(
0 = C_{2n}^0 – C_{2n}^1 + C_{2n}^2 – C_{2n}^3 + \cdots – C_{2n}^{2n – 1} + C_{2n}^{2n}(3)\)

Trừ từng vế của (2) và (3) ta có:

\(
{2^{2n}} = 2.\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n – 1}} \right) \Leftrightarrow C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n – 1} = {2^{2n – 1}}\)

Nên 

\(
C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + \cdots + C_{2n}^{2n – 1} = 512 \Leftrightarrow {2^{2n – 1}} = {2^9} \Leftrightarrow 2n – 1 = 9 \Leftrightarrow n = 5\)

Hay \(
S = {2^2}C_5^2 – {3^2}C_5^3 + {4^2}C_5^4 – {5^2}.C_5^5 = 5\)