Cho một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng $2\text{km}$, đường kính $PR$ như hình vẽ sau :

Từ điểm $P$ anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc $3\text{km/h}$ đến điểm $Q$ trên bờ hồ, rồi chạy bộ dọc theo thành hồ đến vị trí $R$ với vận tốc $6\text{km/h}$. Thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ $P$ đến $R$ là bao nhiêu? (thời gian tính bằng phút).
Đáp án: 90

Lời giải: Đặt $\widehat{QPR}=\varphi \left( rad \right)$, $\varphi \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.

Ta có $\Delta PQR$ vuông tại $Q$ $\Rightarrow PQ=PR.\cos \varphi =4\cos \varphi$.
Mà $\widehat{QOR}=2\widehat{QPR}=2\varphi$.
Độ dài cung tròn $QR=2.2\varphi =4\varphi$.
Thời gian anh Tài chèo từ $P$ đến $Q$ là: $\dfrac{4\cos \varphi }{3}$ (giờ).
Thời gian anh Tài chèo từ $Q$ đến $R$ là: $\dfrac{4\varphi }{6}=\dfrac{2\varphi }{3}$ (giờ).
Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ $P$ đến $R$ là: $t=\dfrac{4\cos \varphi }{3}+\dfrac{2\varphi }{3}\left( 0{
Xét hàm số $t\left( \varphi \right)=\dfrac{4\cos \varphi }{3}+\dfrac{2\varphi }{3}$ với $\varphi \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
${t}’\left( \varphi \right)=\dfrac{1}{3}\left( -4\sin \varphi +2 \right)$, $\varphi \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$.
${t}’\left( \varphi \right)=0,\varphi \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow \sin \varphi =\dfrac{1}{2},\varphi \in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$
$\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{6}$.
Bảng biến thiên

Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ $P$ đến $R$ là $t\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+\dfrac{\pi }{9}\approx 1,5$ (giờ) hay 90 phút.

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy