Câu hỏi:
Cho k và n là hai số tự nhiên sao cho k + 3 ≤ n. Khi đó \(\begin{equation}
2 \mathrm{C}_{n}^{k}+5 \mathrm{C}_{n}^{k+1}+4 \mathrm{C}_{n}^{k+2}+\mathrm{C}_{n}^{k+3}
\end{equation}\) bằng với:
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
\(\begin{equation}
\text { Từ tính chất } \mathrm{C}_{n}^{k}+\mathrm{C}_{n}^{k-1}=\mathrm{C}_{n+1}^{k} \text { với } 1 \leq k \leq n ; k, n \in \mathbb{N} \text { . Ta có }
\end{equation}\)
\(\begin{equation}
\begin{array}{l}
2 \mathrm{C}_{n}^{k}+5 \mathrm{C}_{n}^{k+1}+4 \mathrm{C}_{n}^{k+2}+\mathrm{C}_{n}^{k+3} \\
=2\left(\mathrm{C}_{n}^{k}+\mathrm{C}_{n}^{k+1}\right)+3\left(\mathrm{C}_{n}^{k+1}+\mathrm{C}_{n}^{k+2}\right)+\left(\mathrm{C}_{n}^{k+2}+\mathrm{C}_{n}^{k+3}\right) \\
=2 \mathrm{C}_{n+1}^{k+1}+3 \mathrm{C}_{n+1}^{k+2}+\mathrm{C}_{n+1}^{k+3} \\
=2\left(\mathrm{C}_{n+1}^{k+1}+\mathrm{C}_{n+1}^{k+2}\right)+\left(\mathrm{C}_{n+1}^{k+2}+\mathrm{C}_{n+1}^{k+3}\right) \\
=2 \mathrm{C}_{n+2}^{k+2}+\mathrm{C}_{n+2}^{k+3} \\
=\mathrm{C}_{n+2}^{k+2}+\left(\mathrm{C}_{n+2}^{k+2}+\mathrm{C}_{n+2}^{k+3}\right) \\
=\mathrm{C}_{n+2}^{k+2}+\mathrm{C}_{n+3}^{k+3}
\end{array}
\end{equation}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời