Câu hỏi:
Cho k và n là hai số nguyên sao cho 3 ≤ k ≤ n. Thu gọn \(\begin{equation}
\mathrm{C}_{n}^{k}+3 \mathrm{C}_{n}^{k-1}+3 \mathrm{C}_{n}^{k-2}+\mathrm{C}_{n}^{k-3}
\end{equation}\) ta được
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
\(\begin{equation}
\text { Từ tính chất } \mathrm{C}_{n}^{k}+\mathrm{C}_{n}^{k-1}=\mathrm{C}_{n+1}^{k} \text { với } 1 \leq k \leq n ; k, n \in \mathbb{N} \text { . Ta có }
\end{equation}\)
\(\begin{equation}
\begin{array}{l}
\mathrm{C}_{n}^{k}+3 \mathrm{C}_{n}^{k-1}+3 \mathrm{C}_{n}^{k-2}+\mathrm{C}_{n}^{k-3} \\
=\left(\mathrm{C}_{n}^{k}+\mathrm{C}_{n}^{k-1}\right)+2\left(\mathrm{C}_{n}^{k-1}+\mathrm{C}_{n}^{k-2}\right)+\left(\mathrm{C}_{n}^{k-2}+\mathrm{C}_{n}^{k-3}\right) \\
=\mathrm{C}_{n+1}^{k}+2 \mathrm{C}_{n+1}^{k-1}+\mathrm{C}_{n+1}^{k-2} \\
=\left(\mathrm{C}_{n+1}^{k}+\mathrm{C}_{n+1}^{k-1}\right)+\left(\mathrm{C}_{n+1}^{k-1}+\mathrm{C}_{n+1}^{k-2}\right) \\
=\mathrm{C}_{n+2}^{k}+\mathrm{C}_{n+2}^{k-1} \\
=\mathrm{C}_{n+3}^{k}
\end{array}
\end{equation}\)
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Tổ hợp
Trả lời