Câu hỏi:
Cho K là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ K. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4.
Lời Giải:
Đây là các bài toán về Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp có áp dụng các phép đếm.
Ta có: \(\left| K \right| = {9.10^3} = 9000\)
Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó chia hết cho 4. \(A = \left\{ {\overline {abcd} \,\, \in \mathbb{N}:\,\,\left( {a + b + c + d} \right) \vdots \,\,4} \right\}\).
Xét \(b + c + d = 4k + r\,\,\left( {0 \le r \le 3} \right)\). Nếu \(r \in \left\{ {0;1;2} \right\}\) thì mỗi giá trị của r sẽ có hai giá trị của a sao cho \(\left( {a + b + c + d} \right)\, \vdots \,\,4\) (đó là \(a = 4 – r,\,\,a = 8 – r\)). Nếu r = 3 thì mỗi giá trị của r sẽ có ba giá trị của a sao cho \(\left( {a + b + c + d} \right)\, \vdots \,\,4\) (đó là \(a = 1,\,\,a = 5,\,\,a = 9\)).
Gọi \(B = \left\{ {\overline {bcd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le b,c,d \le 9,\,\,b + c + d = 4k + r,\,\,0 \le r \le 2} \right\}, C = \left\{ {\overline {bcd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le b,c,d \le 9,\,\,b + c + d = 4k + 3} \right\}\).
Khi đó, ta có: \(\left| A \right| = 2\left| B \right| + 3\left| C \right| = 2\left( {\left| B \right| + \left| C \right|} \right) + \left| C \right| = {2.10^3} + \left| C \right|\).
Xét tập hợp C với \(c + d = 4m + n\). Nếu \(n \in \left\{ {0;1} \right\}\) thì mỗi giá trị của n sẽ có hai giá trị của b sao cho \(b + c + d = \,4k + 3\). Nếu \(n \in \left\{ {2;3} \right\}\) thì mỗi giá trị của n sẽ có ba giá trị của b sao cho \(b + c + d = \,4k + 3\).
Gọi \(D = \left\{ {\overline {cd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le c,d \le 9,\,c + d = 4m + n,\,\,0 \le n \le 1} \right\}, E = \left\{ {\overline {cd} \in \mathbb{N}:\,\,0 \le c,d \le 9,\,\,c + d = 4m + n,\,\,2 \le n \le 3} \right\}\).
Khi đó, ta có: \(\left| C \right| = 2\left| D \right| + 3\left| E \right| = 2\left( {\left| D \right| + \left| E \right|} \right) + \left| E \right| = {2.10^2} + \left| E \right|\), với \)\left| E \right| = 25 + 24 = 49\).
Suy ra: \(\left| A \right| = {2.10^3} + {2.10^2} + 49 = 2249\).
Gọi biến cố X: “Số được chọn có tổng các chữ số là bội của 4”. Khi đó, xác suất của biến cố X là: \(P\left( X \right) = \frac{{2249}}{{9000}}\).
===============
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Xác suất
Trả lời