Bài toán gốc
Cho hình tứ diện $MNPQ$ có trọng tâm $K$, $F$ là một điểm bất kỳ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau? a) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$. b) $\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KQ}=\overrightarrow{0}$. c) $\overrightarrow{FK}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)$. d) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$.
💡 Lời giải: (Đúng) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$. (Vì): Viết lại: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{0}$. (Đúng) $\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KQ}=\overrightarrow{0}$. (Vì): Xem công thức (Sai) $\overrightarrow{FK}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)$. (Vì): Đẳng thức đúng: $\overrightarrow{FK}=\dfrac{1}{4}\left( \overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)$. (Sai) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$. (Vì): Đúng phải là: $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{0}$. (Đúng) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$. (Đúng) $\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KQ}=\overrightarrow{0}$. (Sai) $\overrightarrow{FK}=\dfrac{2}{3}\left( \overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ} \right)$. (Sai) $\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán kiểm tra các đẳng thức vector cơ bản trong hình học không gian, đặc biệt là hình tứ diện. Các kiến thức được kiểm tra bao gồm: 1. Quy tắc cộng vector (quy tắc Chasles) và tổng vector theo chu trình kín ($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+…+\overrightarrow{ZA}=\overrightarrow{0}$). 2. Tính chất của trọng tâm $K$ của hình tứ diện $MNPQ$: $\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{KP}+\overrightarrow{KQ}=\overrightarrow{0}$. 3. Công thức biểu diễn vector trọng tâm đối với một điểm bất kỳ $F$: $\overrightarrow{FK} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{FM}+\overrightarrow{FN}+\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FQ})$.
Bài toán tương tự
5 Bài toán tương tự:
**Câu 1:** Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Đẳng thức vector nào sau đây luôn đúng?
A. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}$.
B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.
C. $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{0}$.
D. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=4\overrightarrow{GD}$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Theo định nghĩa vector của trọng tâm $G$ của tứ diện $ABCD$, tổng vector nối từ $G$ đến 4 đỉnh phải bằng vector không: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.
**Câu 2:** Cho tứ diện $OABC$ có trọng tâm $G$. Với điểm $M$ bất kỳ, khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$.
B. $\overrightarrow{GM} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$.
C. $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$.
D. $\overrightarrow{MG} = 4(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Theo công thức vector trọng tâm tứ diện đối với điểm $M$ bất kỳ: $\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}$. Suy ra $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$.
**Câu 3:** Cho ba điểm $A, B, C$ bất kỳ. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BC}$.
C. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$.
D. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng quy tắc Chasles: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}) + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0}$.
**Câu 4:** Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. $M$ là điểm bất kì. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} = 4\overrightarrow{MG}$.
B. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$.
C. $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})$.
D. $\overrightarrow{GM} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$. Lưu ý rằng với tam giác, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} = 3\overrightarrow{MG}$, nên A sai.
**Câu 5:** Cho hình bình hành $PQRS$. Gọi $I$ là tâm (giao điểm hai đường chéo). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{P S} = \overrightarrow{P R}$.
B. $\overrightarrow{IP} + \overrightarrow{IR} = \overrightarrow{0}$.
C. $\overrightarrow{P Q} + \overrightarrow{R S} = \overrightarrow{0}$.
D. $\overrightarrow{QP} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{QS} = 2\overrightarrow{QI}$.
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: A, B, C đều đúng theo tính chất của hình bình hành và trung điểm. Xét D: $\overrightarrow{QP} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{QS}$ (quy tắc hình bình hành). Do đó, $\overrightarrow{QP} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{QS} + \overrightarrow{QS} = 2\overrightarrow{QS}$. Vì $I$ là trung điểm $QS$, $\overrightarrow{QS} = 2\overrightarrow{QI}$. Vậy tổng bằng $2(2\overrightarrow{QI}) = 4\overrightarrow{QI}$. Khẳng định $4\overrightarrow{QI} = 2\overrightarrow{QI}$ là sai (trừ khi $\overrightarrow{QI}=\overrightarrow{0}$). D sai.