Cho hình nón chứa năm mặt cầu cùng có bán kính là 1, trong đó bốn mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc đôi một với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ năm tiếp xúc với bốn mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy hình nón.

Lời giải::

Gọi \(S\,,\,A\,,\,B\,,\,C\,,\,D\) lần lượt là tâm 5 mặt cầu như hình vẽ.

Suy ra \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2, đáy là hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\).

Ta có \(OA = \sqrt 2 \), \(\widehat {SAO} = \widehat {IEH} = 2\widehat {AEH} = \alpha \).

\(\cos \alpha = \frac{{OA}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \Rightarrow \widehat {AEH} = 22,5^\circ \)

\( \Rightarrow EF = \frac{{AF}}{{\tan \widehat {AEH}}} = \sqrt 2 + 1 \Rightarrow R = HE = HF + FE = 2\sqrt 2 + 1\).