Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?

Bài toán gốc

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau? a) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. b) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{C{{B}_{1}}}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. c) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$. d) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{{{A}_{1}}C}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$.
💡 Lời giải: (Sai) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. (Vì): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{{C}_{1}}}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=2\overrightarrow{B{{B}_{1}}}$ (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{C{{B}_{1}}}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. (Vì): $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{C{{B}_{1}}}$ (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$. (Vì): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B{{C}_{1}}}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{{{A}_{1}}C}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. (Vì): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{{{A}_{1}}C}+\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{B{{B}_{1}}}+\overrightarrow{{{B}_{1}}{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{A}_{1}}C}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$ (Sai) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{C{{B}_{1}}}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{d}$. (Đúng) Đặt $\overrightarrow{B{{B}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{{{A}_{1}}C}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{C}_{1}}{{B}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán thuộc dạng kiểm tra các đẳng thức vector trong hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Phương pháp giải chủ yếu dựa vào việc sử dụng quy tắc cộng/trừ vector (quy tắc ba điểm Chasles) và áp dụng các tính chất của hình lăng trụ: các cặp cạnh bên song song và bằng nhau ($\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$), các vector đáy tương ứng bằng nhau ($\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A_1B_1}$, v.v.). Mục tiêu là biến đổi vế trái để xem nó có bằng vế phải hay không.

Bài toán tương tự

1. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{AB_1}$.
B. $\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1C} + \overrightarrow{C A} = \overrightarrow{A A_1}$.
C. $\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{BA} – \overrightarrow{CA}$.
D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{B_1B}$.

Đáp án đúng: A.
Giải thích: Khẳng định A là đúng theo quy tắc cộng vector (quy tắc ba điểm): $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{AB_1}$.

2. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Tính tổng $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{C_1B}$.
A. $\overrightarrow{0}$.
B. $\overrightarrow{A_1B}$.
C. $\overrightarrow{AB}$.
D. $\overrightarrow{AC}$.

Đáp án đúng: A.
Giải thích: Ta có $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{AA_1} + (\overrightarrow{B_1C_1} + \overrightarrow{C_1B}) = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{B_1B}$. Vì $\overrightarrow{AA_1}$ và $\overrightarrow{B_1B}$ là hai vector đối nhau ($\overrightarrow{B_1B} = -\overrightarrow{AA_1}$), nên $\overrightarrow{S} = \overrightarrow{0}$.

3. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Hãy đơn giản biểu thức vector $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{B_1C}$.
A. $\overrightarrow{AC_1}$.
B. $\overrightarrow{AB_1}$.
C. $\overrightarrow{AC}$.
D. $\overrightarrow{B_1C_1}$.

Đáp án đúng: C.
Giải thích: Ta có $\overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{BB_1}$. Do đó $\overrightarrow{M} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{B_1C}$. Áp dụng quy tắc ba điểm hai lần: $\overrightarrow{M} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1}) + \overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{B_1C} = \overrightarrow{AC}$.

4. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{A_1B_1} – \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{A_1B}$.
B. $\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{AC}$.
C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{C_1A} = \overrightarrow{0}$.
D. $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1B_1} = \overrightarrow{A_1B}$.

Đáp án đúng: D.
Giải thích: Xét khẳng định D: Vế trái (VT) = $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{C_1B_1}$. Vì $\overrightarrow{C_1B_1} = \overrightarrow{CB}$ (do đáy là lăng trụ tam giác), ta có VT = $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$. Vế phải (VP) = $\overrightarrow{A_1B}$. Vì $A \ne A_1$, nên $\overrightarrow{AB} \ne \overrightarrow{A_1B}$. Khẳng định D sai. (Kiểm tra A: $\overrightarrow{A_1B_1} – \overrightarrow{C_1C} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1B} = \overrightarrow{A_1B}$. A đúng.)

5. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Đặt $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{A_1B} – \overrightarrow{A_1C}$. Hãy chọn vector bằng với $\overrightarrow{u}$:
A. $\overrightarrow{BC}$.
B. $\overrightarrow{B_1C_1}$.
C. $\overrightarrow{CB}$.
D. $\overrightarrow{AC}$.

Đáp án đúng: C.
Giải thích: Áp dụng quy tắc trừ vector (xuất phát từ cùng một điểm): $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{A_1B} – \overrightarrow{A_1C} = \overrightarrow{CB}$.