Bài toán gốc
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. B. Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. C. Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{B{{A}_{1}}}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. D. Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
💡 Lời giải: (Đúng). Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{A{{C}_{1}}}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. (Vì): $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{C{{C}_{1}}}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{A{{C}_{1}}}$ (Sai). Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{B{{A}_{1}}}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\overrightarrow{d}$ thì $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{0}$. (Vì): $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}=\overrightarrow{C{{C}_{1}}}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{{A}_{1}}}+\overrightarrow{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\overrightarrow{C{{C}_{1}}}+\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=2\overrightarrow{C{{C}_{1}}}$ (Sai). Đặt $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$. (Vì): $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=-2\vec{b}$ (Sai). Đặt $\overrightarrow{C{{C}_{1}}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$. (Vì): $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{C{{C}_{1}}}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{A{{C}_{1}}}$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu xác định mối quan hệ đẳng thức vector đúng trong không gian hình học, cụ thể là hình lăng trụ hoặc hình hộp. Phương pháp giải chủ yếu dựa vào việc áp dụng Quy tắc cộng vector (Chasles’ Rule) và Quy tắc trừ vector, kết hợp với các tính chất đặc trưng của hình học lăng trụ (các cạnh bên song song và bằng nhau: $\overrightarrow{AA_1} = \overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}$, các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau: $\overrightarrow{A’B’} = \overrightarrow{AB}$).
Bài toán tương tự
Câu 1: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{A’C} = \overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{A’D’} + \overrightarrow{A’A}$
B. $\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$
C. $\overrightarrow{BD’} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB’}$
D. Cả A, B, C đều đúng.
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng quy tắc hình hộp: đường chéo bắt đầu từ một đỉnh bằng tổng ba vector cạnh xuất phát từ đỉnh đó. $\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$. Tương tự, $\overrightarrow{A’C} = \overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{A’D’} + \overrightarrow{A’A}$ và $\overrightarrow{BD’} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB’}$.
Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Đặt $\overrightarrow{AA’} = \vec{a}, \overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{AC} = \vec{c}$. Biểu diễn vector $\overrightarrow{B’C}$ theo $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$.
A. $\overrightarrow{B’C} = \vec{a} + \vec{c} – \vec{b}$
B. $\overrightarrow{B’C} = \vec{b} – \vec{c} – \vec{a}$
C. $\overrightarrow{B’C} = \vec{c} – \vec{b} – \vec{a}$
D. $\overrightarrow{B’C} = \vec{c} – \vec{b} + \vec{a}$
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{B’C} = \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{BC}$. Vì $\overrightarrow{B’B} = -\overrightarrow{BB’} = -\overrightarrow{AA’} = -\vec{a}$. Và $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AB} = \vec{c} – \vec{b}$. Suy ra $\overrightarrow{B’C} = -\vec{a} + \vec{c} – \vec{b} = \vec{c} – \vec{b} – \vec{a}$.
Câu 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B’C’$. Đẳng thức vector nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA’} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$
B. $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
C. $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{A’B’} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{B’C’})$
D. $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{A’M}$. Vì $M$ là trung điểm $B’C’$, nên $\overrightarrow{A’M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{A’C’})$. Trong lăng trụ, $\overrightarrow{A’B’} = \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A’C’} = \overrightarrow{AC}$. Do đó, $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA’} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.
Câu 4: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. $\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{B’C’} + \overrightarrow{C’C} = \overrightarrow{A’B}$
B. $\overrightarrow{AB’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA’}$
C. $\overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{C’C} = \overrightarrow{0}$
D. $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{A’B’} = \overrightarrow{C’B}$
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Khẳng định C đúng vì $\overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{C’C} = \overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{A’A} = 3\overrightarrow{A’A} \neq \overrightarrow{0}$ (trừ khi lăng trụ suy biến). Tuy nhiên, nếu xét các cặp vector đối nhau theo cạnh bên: $\overrightarrow{A’A} = -\overrightarrow{AA’}$, $\overrightarrow{B’B} = -\overrightarrow{BB’}$, $\overrightarrow{C’C} = -\overrightarrow{CC’}$. Vì $\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{BB’} = \overrightarrow{CC’}$, nên tổng $-3\overrightarrow{AA’} \neq \overrightarrow{0}$. Phải kiểm tra lại các đáp án khác.
Kiểm tra lại C: $\overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{C’C}$. Trong lăng trụ, $\overrightarrow{A’A} = \overrightarrow{B’B} = \overrightarrow{C’C}$ (về độ lớn và hướng). Nếu lăng trụ đứng, các vector này song song. Vậy $\overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{C’C} = 3\overrightarrow{A’A}$. Khẳng định C sai.
Kiểm tra D: $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{A’B’}$. Vì $\overrightarrow{A’B’} = \overrightarrow{AB}$. Tổng bằng $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}$. Ta có $\overrightarrow{C’B} = \overrightarrow{C’C} + \overrightarrow{CB}$. Do đó $\overrightarrow{CB} \neq \overrightarrow{C’B}$. Khẳng định D SAI.
Chọn C là khẳng định SAI dễ thấy nhất (Tổng ba vector bằng nhau không thể bằng $\overrightarrow{0}$). Nếu C là đúng, đề bài đang cố ý nói đến tổng vector xuất phát từ một điểm hoặc tính chất khác.
Khẳng định SAI là C, vì $\overrightarrow{A’A} + \overrightarrow{B’B} + \overrightarrow{C’C} = 3\overrightarrow{A’A}$.
Câu 5: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Đặt $S = \overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{B’C} + \overrightarrow{CA}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $S = \overrightarrow{0}$
B. $S = \overrightarrow{A’A}$
C. $S = \overrightarrow{AA’}$
D. $S = \overrightarrow{AC}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng quy tắc cộng vector:
$S = (\overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{B’C}) + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A’C} + \overrightarrow{CA}$.
Tiếp tục áp dụng quy tắc cộng vector: $\overrightarrow{A’C} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{A’A}$.
Vậy $S = \overrightarrow{A’A}$.