Bài toán gốc
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có cạnh bằng $CD=3,CB=4$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau? a) $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AC}$ b) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CM}$ c) $|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{QM}|=7$ d) $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{PM})=\widehat{PQM}$
💡 Lời giải: (Sai) $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AC}$ (Vì): $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{PM}$ (Đúng) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CM}$ (Sai) $|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{QM}|=7$ (Vì): $|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{QM}|=|\overrightarrow{CA}|=CA=\sqrt{CD^2+DA^2}=5$ (Sai) $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{PM})=\widehat{PQM}$ (Vì): $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{PM})=\widehat{QPM}$ (Sai) $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{AC}$ (Đúng) $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CM}$ (Sai) $|\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{QM}|=7$ (Sai) $(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{PM})=\widehat{PQM}$
Phân tích và Phương pháp giải
Bài toán này thuộc dạng xác định các mối quan hệ và thực hiện các phép toán cơ bản của vectơ (tổng, hiệu, tính độ dài, tích vô hướng, góc) trong hình học không gian, cụ thể là hình hộp chữ nhật. Phương pháp giải sử dụng quy tắc cộng trừ vectơ (quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành/hình hộp) để rút gọn biểu thức, hoặc sử dụng hệ tọa độ Oxyz để tính toán chính xác độ dài và tích vô hướng khi cần thiết. Cần xác định đúng sự tương ứng giữa các đỉnh của hai mặt đáy (A->M, B->N, C->P, D->Q).
Bài toán tương tự
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có kích thước $CD=4, CB=3$ và chiều cao $CP=5$. Lấy $A$ làm gốc tọa độ, $AB$ trùng $Ox, AD$ trùng $Oy, AM$ trùng $Oz$.
**Câu 1:** Xét tính đúng sai của phát biểu: $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{QD}=\overrightarrow{AP}$.
Đáp án: Sai.
Lời giải ngắn gọn: Thiết lập hệ tọa độ $A(0,0,0)$. $B(4,0,0), D(0,3,0), M(0,0,5), Q(0,3,5), P(4,3,5)$. $\overrightarrow{MB}=(4, 0, -5)$, $\overrightarrow{QD}=(0, 0, -5)$. $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{QD}=(4, 0, -10)$. $\overrightarrow{AP}=(4, 3, 5)$. Hai vectơ khác nhau.
**Câu 2:** Phát biểu nào sau đây đúng?
A. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{AP}$
B. $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AC}$
C. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MP}$
D. $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP}$
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}$ là ba vectơ đồng quy tại $A$ đại diện cho ba cạnh của hình hộp. Tổng của chúng bằng vectơ đường chéo không gian $\overrightarrow{AP}$.
**Câu 3:** Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DQ}$.
A. 5
B. $\sqrt{41}$
C. 7
D. $\sqrt{50}$
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{DQ}$ là vectơ chiều cao, $\overrightarrow{DQ}=\overrightarrow{AM}$. $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AM}$. Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AP}$. $|\overrightarrow{AP}| = \sqrt{AB^2+AD^2+AM^2} = \sqrt{4^2+3^2+5^2} = \sqrt{16+9+25} = \sqrt{50}$.
**Câu 4:** Tính tích vô hướng $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DN}$.
A. 16
B. 12
C. 4
D. -16
Đáp án đúng: D.
Lời giải ngắn gọn: Sử dụng tọa độ $D(0, 3, 0), C(4, 3, 0), N(4, 0, 5)$. $\overrightarrow{CD} = (-4, 0, 0)$. $\overrightarrow{DN} = (4, -3, 5)$. $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DN} = (-4)(4) + (0)(-3) + (0)(5) = -16$.
**Câu 5:** Tính độ dài $L = |\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BP}|$.
A. 5
B. $\sqrt{41}$
C. $\sqrt{50}$
D. $\sqrt{74}$
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Rút gọn tổng: $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CA}$. $L = |\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BP}|$. Sử dụng tọa độ: $A(0,0,0), C(4,3,0), B(4,0,0), P(4,3,5)$. $\overrightarrow{CA} = (-4, -3, 0)$. $\overrightarrow{BP} = (0, 3, 5)$. $\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BP} = (-4, 0, 5)$. $L = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.