Bài toán gốc
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.MNPQ$ có cạnh bằng $BC=5,BA=8$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau? a) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NQ}$ b) $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{89}$ c) $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{NQ})=\widehat{NPQ}$ d) $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BQ}=89$
💡 Lời giải: (Đúng) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NQ}$ (Đúng) $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{89}$ (Vì): $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}|=|\overrightarrow{BD}|=BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{89}$ (Sai) $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{NQ})=\widehat{NPQ}$ (Vì): $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{NQ})=\widehat{PNQ}$ (Đúng) $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BQ}=89$ (Vì): $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{PA}=(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}).(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BN})=BC^2+BA^2=89$ (Đúng) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NQ}$ (Đúng) $|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{89}$ (Sai) $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{NQ})=\widehat{NPQ}$ (Đúng) $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BQ}=89$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán yêu cầu kiểm tra tính đúng sai hoặc tính toán giá trị của các biểu thức vector (tổng, hiệu, độ dài, tích vô hướng, góc) trong hình hộp chữ nhật. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng quy tắc cộng/trừ vector (như quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp), phân tích vector theo các cạnh của hình hộp, và áp dụng công thức tích vô hướng $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(\theta)$ hoặc phương pháp tọa độ để tính toán các giá trị liên quan.
Bài toán tương tự
1. Bài toán 1 (Tự luận): Kiểm tra mối quan hệ vector và độ dài\n**Đề bài:** Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=3$, $AD=4$, $AA’=5$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:\na) $\overrightarrow{AB’}+\overrightarrow{A’D}=\overrightarrow{AC}$.\nb) $|\overrightarrow{BC} – \overrightarrow{C’D’}| = 5$. \n**Đáp án:** a) Đúng; b) Đúng.\n**Lời giải ngắn gọn:** a) Ta có $\overrightarrow{A’D} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AA’}$. $\overrightarrow{AB’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA’}$. $\overrightarrow{AB’}+\overrightarrow{A’D} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. (Đúng). b) Ta có $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$. $\overrightarrow{C’D’} = \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{AB}$. $|\overrightarrow{BC} – \overrightarrow{C’D’}| = |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. (Đúng).\n\n2. Bài toán 2 (Trắc nghiệm): Tính tích vô hướng\n**Đề bài:** Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.M N P Q$ có $AB=6$, $BC=8$. Tính tích vô hướng $P = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AP}$.\nA. $P = 100+h^2$.\nB. $P = 100$.\nC. $P = 100 + 2h$.\nD. $P = 100 + h$.\n**Đáp án đúng:** B. $P = 100$.\n**Lời giải ngắn gọn:** Phân tích $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}$. Vì $\overrightarrow{CP} \perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{CP} \perp \overrightarrow{AC}$. $P = \overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CP}) = |\overrightarrow{AC}|^2 + 0$. $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Vậy $P = 10^2 = 100$.\n\n3. Bài toán 3 (Trắc nghiệm): Độ dài vector tổng\n**Đề bài:** Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính độ dài của vector $\vec{v} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$.\nA. $|\vec{v}| = a\sqrt{2}$.\nB. $|\vec{v}| = a\sqrt{3}$.\nC. $|\vec{v}| = 3a$.\nD. $|\vec{v}| = a$.\n**Đáp án đúng:** B. $|\vec{v}| = a\sqrt{3}$.\n**Lời giải ngắn gọn:** Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’}$ (đường chéo hình hộp). $AC’ = a\sqrt{3}$.\n\n4. Bài toán 4 (Trắc nghiệm): Góc giữa hai vector\n**Đề bài:** Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $B’C’$. Tính cosin của góc giữa hai vector $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AM}$.\nA. $\cos \alpha = 1/2$.\nB. $\cos \alpha = 1/\sqrt{3}$.\nC. $\cos \alpha = 1/\sqrt{2}$.\nD. $\cos \alpha = 2/3$.\n**Đáp án đúng:** C. $\cos \alpha = 1/\sqrt{2}$.\n**Lời giải ngắn gọn:** Chọn $a=1$. $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$. $M(1, 1/2, 1)$. $\overrightarrow{AC}=(1, 1, 0)$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$. $\overrightarrow{AM}=(1, 1/2, 1)$, $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{1+0.25+1}=1.5$. $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AM} = 1 + 1/2 = 1.5$. $\cos \alpha = 1.5 / (\sqrt{2} \cdot 1.5) = 1/\sqrt{2}$.\n\n5. Bài toán 5 (Trắc nghiệm): Kết hợp vector và tích vô hướng\n**Đề bài:** Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.M N P Q$. $AB=a, BC=a\sqrt{3}, AM=a$. Tính giá trị của biểu thức $K = \overrightarrow{AC} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM})$.\nA. $K = a^2$.\nB. $K = a^2\sqrt{3}$.\nC. $K = 2a^2$.\nD. $K = 4a^2$.\n**Đáp án đúng:** A. $K = a^2$. \n**Lời giải ngắn gọn:** $M$ là đỉnh đối diện $A$ qua mặt bên. Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AN}$ (Với $N$ là đỉnh trên $B$). Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0)$. $C(a, a\sqrt{3}, 0)$, $N(a, 0, a)$. $\overrightarrow{AC}=(a, a\sqrt{3}, 0)$, $\overrightarrow{AN}=(a, 0, a)$. $K = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AN} = (a)(a) + (a\sqrt{3})(0) + (0)(a) = a^2$.