Bài toán gốc
Cho hình hộp $ABCD.MNPQ$. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau? a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}$ b) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MB}$ c) $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DP}$ d) $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AD}$
💡 Lời giải: (Sai) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}$ (Vì): Hai vector đối nhau không phải bằng nhau (Sai) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MB}$ (Vì): Có độ dài bằng nhau nhưng không cùng hướng (Đúng) $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DP}$ (Sai) $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AD}$ (Vì): $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{DA}$ (Sai) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PQ}$ (Sai) $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MB}$ (Đúng) $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DP}$ (Sai) $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AD}$
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng toán kiểm tra kiến thức cơ bản về các phép toán vector (cộng, trừ) và mối quan hệ bằng nhau giữa các vector trong hình hộp. Phương pháp giải dựa trên việc áp dụng Quy tắc 3 điểm (Chasles), Quy tắc hình bình hành, và sử dụng tính chất các vector bằng nhau (cùng phương, cùng chiều, cùng độ dài) do các cặp cạnh đối diện của hình hộp song song và bằng nhau.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự về vector trong hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$:
1. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A’D’} = \overrightarrow{A’C’}$.
C. $\overrightarrow{BC’} + \overrightarrow{C’D’} = \overrightarrow{BA’}$.
D. $\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{CC’}$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: Phát biểu A, B, D đều đúng theo quy tắc tổng ba cạnh đồng quy hoặc quy tắc hình bình hành và tính chất cạnh song song. Phát biểu C sai vì $\overrightarrow{BC’} + \overrightarrow{C’D’} = \overrightarrow{BD’}$ (Quy tắc 3 điểm). $BD’$ là đường chéo không gian, không bằng đường chéo mặt bên $BA’$.
2. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Tính tổng vector $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AA’}$.
A. $\overrightarrow{AC’}$.
B. $\overrightarrow{A’C}$.
C. $\overrightarrow{CA’}$.
D. $\overrightarrow{D’B’}$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Áp dụng quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
Tổng cần tính là $\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AA’}$. Áp dụng quy tắc trừ vector (Chasles): $\overrightarrow{AC} – \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{A’C}$.
3. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Tổng vector nào sau đây bằng $\vec{0}$?
A. $\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{CC’}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$.
C. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.
D. $\overrightarrow{A’C’} + \overrightarrow{AC}$.
Đáp án đúng: B.
Lời giải ngắn gọn: Ta có $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vector đối nhau vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}$. Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CD} = \vec{0}$. (A là $3\overrightarrow{AA’} \ne \vec{0}$. C là $2\overrightarrow{AD} \ne \vec{0}$. D là $2\overrightarrow{AC} \ne \vec{0}$).
4. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Xét tính đúng (Đ) hay sai (S) của các phát biểu sau:
i) $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{C’B’} = \vec{0}$.
ii) $\overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD}$.
iii) $\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{AC’}$.
iv) $\overrightarrow{A’C’} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$.
Đáp án: S, Đ, S, S.
Lời giải ngắn gọn:
i) Sai. $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B’C’}$. Vậy $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{C’B’} = \overrightarrow{AD} + (-\overrightarrow{B’C’}) = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AD} = \vec{0}$. Phát biểu đã cho là $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{C’B’} = \vec{0}$, mà $\overrightarrow{C’B’} = -\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AD} = \vec{0}$. Phát biểu i) là ĐÚNG. (Lỗi đề xuất hiện trong quá trình tạo câu hỏi, tôi sửa lại để có câu S). Sửa i): $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}$. Sai, vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Tổng là $2\overrightarrow{AD}$. Kết quả: S.
ii) Đúng. $\overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD}$ (Quy tắc trừ).
iii) Sai. $\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{BB’} + \overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{BC’}$. Mà $\overrightarrow{BC’} \ne \overrightarrow{AC’}$.
iv) Sai. $\overrightarrow{A’C’} = \overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{A’C’} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \vec{0}$. Phát biểu iv) là ĐÚNG. Sửa iv): $\overrightarrow{A’B} + \overrightarrow{D’C} = \vec{0}$. Sai. $\overrightarrow{A’B} = \overrightarrow{D’C}$. Tổng là $2\overrightarrow{A’B}$. Kết quả: S.
Kết quả cuối cùng cho 4: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}$ (S); $\overrightarrow{BD} – \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AD}$ (Đ); $\overrightarrow{AA’} + \overrightarrow{B’C’} = \overrightarrow{AC’}$ (S); $\overrightarrow{A’B} + \overrightarrow{D’C} = \vec{0}$ (S).
Đáp án: S, Đ, S, S.
5. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $I$ là trung điểm của $CC’$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\overrightarrow{AA’} = 2\overrightarrow{CI}$.
B. $\overrightarrow{A’B’} + \overrightarrow{C’D’} = 2\overrightarrow{A’B’}$.
C. $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA’}$.
D. $I$ là trung điểm của $AD’$.
Đáp án đúng: C.
Lời giải ngắn gọn: $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CI}$. Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ (Quy tắc hình bình hành). Vì $I$ là trung điểm $CC’$, nên $\overrightarrow{CI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CC’}$. Mà $\overrightarrow{CC’} = \overrightarrow{AA’}$. Vậy $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AA’}$. (A sai vì $\overrightarrow{AA’} = 2\overrightarrow{C’I} = -2\overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{CI}$).