Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(B’,{\rm{ D’}}\) là hình chiếu của \(A\) lần lượt lên \(SB,{\rm{ SD}}\). Mặt phẳng \(\left( {AB’D’} \right)\) cắt \(SC\) tại \(C’\). Thể tích khối chóp \(S.AB’C’D’\) là

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi \(B’,{\rm{ D’}}\) là hình chiếu của \(A\) lần lượt lên \(SB,{\rm{ SD}}\). Mặt phẳng \(\left( {AB’D’} \right)\) cắt \(SC\) tại \(C’\). Thể tích khối chóp \(S.AB’C’D’\) là

A. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\).

D. \(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

Lời giải:

Ta có thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Suy ra thể tích khối chóp \(S.ABC\) và \(S.ADC\)là \({V_{S.ABC}} = {V_{S.ADC}} = \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB\) và \(AB’ \bot SB\) nên \(S{A^2} = SB’.SB \Rightarrow \frac{{SB’}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + {a^2}}} = \frac{2}{3}.\) Tương tự \(\frac{{SD’}}{{SD}} = \frac{2}{3}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AB’\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB’ \bot SB}\\{AB’ \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow AB’ \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB’ \bot SC\).

Tương tự \(AD \bot SC\)\( \Rightarrow SC \bot \left( {AB’D’} \right) \Rightarrow SC \bot AC’\)

\( \Rightarrow \frac{{SC’}}{{SC}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \frac{{2{a^2}}}{{2{a^2} + 2{a^2}}} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(\frac{{{V_{S.AB’C’}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB’}}{{SB}}.\frac{{SC’}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{S.AB’C’}} = \frac{1}{3}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\).

Tương tự \({V_{S.AD’C’}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}}\).

Vậy \({V_{S.AB’C’D’}} = {V_{S.AB’C’}} + {V_{S.AD’C’}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}} + \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{18}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{9}\).

Cách 2: Dùng tỷ lệ thể tích chóp tứ giác.

\(\frac{{SA’}}{{SA}} = x,\frac{{SB’}}{{SB}} = y,\frac{{SC’}}{{SC}} = z,\frac{{SD’}}{{SD}} = t\), \(\frac{{{V_{SA’B’C’D’}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{4}xyzt\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}} \right)\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.