A. \(V = \frac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
B. \(V = \frac{{4{a^3}}}{3}\).
C. \(4\sqrt 3 {a^3}\).
D. \(4{a^3}\).
Lời giải:
Ta có \(ABCD\) là hình thoi, có \(\widehat {BAD} = 120^\circ \).
Xét tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {BAC} = \widehat {ABC} = \widehat {BCA} = 60^\circ \). Suy ra \(\Delta ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(2a\).
Gọi \(I\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(O\) là trọng tâm của\(\Delta ABC\).
Do \(SA = SB = SC\). Suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có \(\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\)
\(\widehat {BCA} = {60^0} \Rightarrow \widehat {OCI} = {30^0} \Rightarrow OCI + ICD = 90^\circ \)\( \Rightarrow CD \bot OC\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có: \(\left. \begin{array}{l}CD \bot SO\,\,\,\left( {do\,\,SO \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\CD \bot OC\\SO \cap OC = O\\SO;\,\,OC \subset \left( {SOC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SOC} \right) \Rightarrow CD \bot SC\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SCO} = 45^\circ \).
Xét\(\Delta SOC\)có \(\widehat {SCO} = 45^\circ \) nên \(\Delta SOC\)cân tại \(O\). Suy ra \(SO = OC\).
Ta có \(\Delta ABC\)là tam giác đều cạnh \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).
Khi đó đường cao \(AM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Suy ra \(OC = \frac{2}{3}CM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \)\(SO = OC = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).
\({S_{ABCD}} = 2a.2a.\sin {120^0} = 2{a^2}\sqrt 3 \).
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.2{a^2}\sqrt 3 .\frac{{2a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4{a^3}}}{3}\).
=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.
Trả lời