Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm \(I\) của cạnh \(AC\) và vuông góc với \(AB\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích là \({V_1}\) và \({V_2}\) \(\left( {{V_1} < {V_2}} \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
A. \(\frac{4}{7}\).
B. \(\frac{9}{{23}}\).
C. \(\frac{8}{{15}}\).
D. \(\frac{9}{{32}}\).
Lời giải:
Gọi \(E,F,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AE,SC\).
Trong \(\left( {SAB} \right)\), kẻ \(FK{\rm{//}}SA\) \(\left( {K \in SB} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IF{\rm{//}}CE\\CE \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow IF \bot AB\).
Lại có \(FK \bot AB;IH \bot AB\).
Do đó \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng \(\left( {IFKH} \right)\) chia khối chóp thành hai khối đa diện \(HKICBF\) và \(SHKAFI\).
\({S_{IFBC}} = {S_{ABC}} – {S_{FAI}} = {S_{ABC}} – \frac{1}{2}FA.FI = {S_{ABC}} – \frac{1}{2}.\frac{1}{4}AB.\frac{1}{2}CE = {S_{ABC}} – \frac{1}{8}{S_{ABC}} = \frac{7}{8}{S_{ABC}}\).
\({V_{KFBCI}} = \frac{1}{3}.KF.{S_{FIBC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{4}SA.\frac{7}{8}{S_{ABC}} = \frac{{21}}{{32}}{V_{SABC}}\).
\({S_{HIC}} = \frac{1}{2}HI.IC = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}SA.\frac{1}{2}AC = \frac{1}{4}{S_{SAC}}\).
\(\frac{{{V_{KHIC}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}d\left( {K,\left( {SAC} \right)} \right).{S_{HIC}}}}{{\frac{1}{3}d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right).{S_{SAC}}}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{16}} \Rightarrow {V_{KHIC}} = \frac{1}{{16}}{V_{SABC}}\).
Suy ra \({V_{HKIFBC}} = {V_{KICH}} + {V_{KFBCI}} = \frac{{23}}{{32}}{V_{SABC}} \Rightarrow {V_{SHKAFI}} = \frac{9}{{32}}{V_{SABC}}\).
Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{9}{{23}}\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Thể tích đa diện.
Để lại phản hồi