Cho hàm số $y=x\ln x$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y$, $m=\min\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y$

Cho hàm số $y=x\ln x$. Đặt $M=\max\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y$, $m=\min\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y$. Tính giá trị $M.m$ bằng ……
Đáp án: -1

Lời giải: Hàm số đã cho liên tục và xác định trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]$
Ta có ${y}’=\ln x+1$.
Xét ${y}’=0\Leftrightarrow \ln x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{e}\in \left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]$.
$y\left( \dfrac{1}{{{e}^{2}}} \right)=-\dfrac{2}{{{e}^{2}}}$, $y\left( \dfrac{1}{e} \right)=-\dfrac{1}{e}$. $y\left( e \right)=e$
Vậy $M=\max\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y=y\left( e \right)=e$, $m=\min\limits_{\left[ \dfrac{1}{{{e}^{2}}};e \right]} y=y\left( \dfrac{1}{e} \right)=-\dfrac{1}{e}$.
Do đó $M.m=-\dfrac{1}{e}.e=-1$